Abelsche Gruppe beweisen: Menge ℤ mit der Verknüpfung x ° y := x + y-2

Question

Hallo erstmal..

Folgendes: Ich muss beweisen dass die Menge ℤ mit der Verknüpfung

x* y := x + y-2    (Der Stern steht für die Verknüpfung, nicht für eine Multiplikation)

eine abelsche Gruppe ist. Wo soll ich da anfangen? Eine Lösung wäre natürlich am besten, wenn 

jemand Lust hat.   

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Dies ist eine relativ leichte Aufgabe. Für die Menge mit der angegebenen Verknüpfung müssen die Gruppenaxiome nachgewiesen werden.

Answer 1

1)  wegen  x,y ∈ℤ →  x+y-2 ∈ ℤ   ist * in  ℤ abgeschlossen

2)  wegen  x*2 = x+2-2 = x   ist  2 neutrales Element

3)  wegen  x * (4-x) = x + 4-x - 2 = 2  ist 4-x inverses Element zu x

4) wegen  x+y-2 = y+x-2  gilt das Kommutativgesetz

5)  ( x* y) * z = (x+y-2) * z = x+y-2 + z - 2 = x+x+z - 4

      x * (y * z) = x * (y + z - 2)  = x + y+z-2 -2 = x+y+z - 4

→  das Assoziativgesetz gilt

1) - 5)  →  (ℤ , *) ist eine abelsche Gruppe

Gruß Wolfgang

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Vielen Dank für diese ausführliche und anschauliche Lösung Wolfgang!