Liegt ein Vektorraum vor?

Question

Man soll eine Basis angeben und überprüfen ob ein Vektorraum vorliegt:

V={(x,y,z) ∈ ℝ | 2x+y+z=c}

somit schließe ich auf y=-2x-z+c
x und z sind beliebig

(x, -2x-z+c, z)^T

Wenn ich nun x=1 und z=0 setze bzw. x=0 und z=1 setze komme ich auf folgende Basen:

(1, -2+c, 0)^T
 
(0, -1+c, 1)^T

Aber wie überprüfe ich nun ob ein Vektorraum vorliegt?

Ich weiß dass man sowohl die Vektoraddition als auch die Multiplikation mit einem Skalar überprüfen muss und hab das auch schon bei einfacheren Beispielen geschafft, aber hier will es irgendwie nicht klappen...

Answer 1

> Aber wie überprüfe ich nun ob ein Vektorraum vorliegt?

Es liegt ein Vektorraum vor, weil es (wie du behauptest) eine Basis gibt :-)

(c,0,0) ∈ V, weil c+0+0 = c ist.

2·(c,0,0) = (2·c,0,0) ∉ V, weil 2·c+0+0 = 2·c ≠ c, falls c ≠ 0 ist. Also liegt im Allgemeinen kein Vektorraum vor.

Im Fall c = 0 liegt  tatsächlich ein Vektorraum vor.

Answer 2

V={(x,y,z) ∈ ℝ³ | 2x+y+z=c}  ist richtig

Alle Vektorraumaxiome, die durch Gleichungen beschrieben werden, die in der Obermenge ℝ³ gültig sind, sind auch in der Teilmenge V gültig. Es bleibt zu prüfen, ob V bzgl. der Operation + abgeschlossen ist und ob der Nullvektor und zu jedem \(\vec{a}\) ∈ V  auch das inverse Element - \(\vec{a}\) ∈  V ist.

Diese Bedingungen sind - wie man leicht überprüfen kann - genau dann erfüllt, wenn c = 0, also

V={(x,y,z) ∈ ℝ³ | 2x + y + z = 0} gilt.

Anschaulich stellt V dann eine Ebene durch den Nullpunkt dar.

Gruß Wolfgang