Question

v1,...,vr linear unabhängig so ist Av1, .... , Avr linear unabhängig

K ist Körper, A ∈ M_mn (Κ) , v1, .. , vr ∈Kⁿ 

Rg(A) = n

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Mein Lösungsansatz: Rg(A)= n → A ist trivial und die Spalten sind linear unabhängig (?)

f : Kⁿ → M_mn (K) ⇔ f_A : Kⁿ → Kⁿ  ⇔ Rg(A)=n (?)

f_{A(v1, ... , vr) =} Av1, ... , Avr

v1, ... , vr linear unabhängig nach Voraussetzung, folgt:

Av1, ... , Avr ∈ Kⁿ (A) ⇔ Rg(A)=n ⇔ Kⁿ  (A) linear unabhängig (?) → Av1, ... , Avr linear unabhängig

Ist es richtig/falsch kann es leider gar nicht einschätzen deswegen frage ich. Lieben Dank

Answer 1

> v1,...,vr linear unabhängig so ist Av1, .... , Avr linear unabhängig

Gegenbeispiel: v₁ = (1 0)^T ∈ℝ², A = 0 ∈M_2;2(ℝ). Dann ist v₁ linear unabhängig, aber Av₁ = (0 0)^T linear abhängig.

Comments

Aber rang A = 0 ≠ 2.

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Du vermutest also, dass Rg(A) = n mit zu den Voraussetzungen gehört? Das macht Sinn.

Answer 2

Ehrlich gesagt habe ich deine Überlegung nicht ganz verstanden.

Betrachte doch einfach die Abbildung f : K^n → K^m    mit f(x) = A*x

wegen rg(A)=n ist   Kern(f) = {0} .  Betrachte nun den

von v1,...,vr aufgespannten Unterraum U ⊂ K^n .

Da die u_i lin. unabh. sind, ist v1,...,vr eine Basis von U, also dim U = r

Und die Einschränkung von f auf den Unterraum U bildet U ab auf f(U) und wegen

dim(U) =  dim Kern(f)  +   dim f(U)  ist auch       dim f(U)  = r

und hat als Basis f(v1),...,f(vr) , also sind diese lin. unabh.

Alternative :

Wenn ihr einen Satz bewiesen habt wie:   Die Dim des Lösungsraumes eines

homogenen lin. Gl. syst. ist immer:   Anz. der Variablen - Rang der Matrix

Dann ist es noch einfacher:

Du nimmst einfach eine Linearkomb der Av1, .... , Avr  und setzt sie gleich

dem Nullvektor, etwa so x1*Av1  + ....  + xr*Avr   = 0     #   also

          nach Umformen  A ( x1v1 + ...... + xrvr ) = 0

Und y=x1v1 + ...... + xrvr ist ein Vektor mit n Komponenten , also gibt es n Variablen y1;...yn

und rang(A) = n  also ist ist dim L = 0   und damit yi = 0 für alle i, also ist

y = x1v1 + ...... + xrvr der Nullvektor.

Weil die vi aber lin. unabh. sind geht das nur für xi=0 für all i.

Also folgt aus # dass xi = 0 für alle i, also  Av1, .... , Avr lin. unabh.

Comments

Ok danke. Kannst du mir kurz erklären was ich falsch gedacht habe?  habe es so gedacht: wenn die Matrix A Rang n hat. Dann hat es in Treppennormalform n Pivot-Positionen und dann ist jede Spalte mit Pivotposition linear unabhängig von einander, da es n pivot Positionen gibt sind alle n Spalten voneinander linear unabhängig.

Und Av1 ist das vielfache (v1) der ersten Spalte von A

usw. Da das Vielfache einer Spalte die lineare Unabhängigkeit bewahrt wird.

Ist das falsch ich würde es gern wissen damit ich es nicht nochmal so mache : D

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Und Av1 ist das vielfache (v1) der ersten Spalte von A    ???

Da bin ich mir nicht so sicher.

Du hast dir das A ja in Treppennormalform vorgestellt,

davon ist aber keine Rede.

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Was ist denn zB Av1 kannst du es mir bitte notieren

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Matrix mal Vektor

schau mal dort

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Aber: v1 = (b1, 0, 0) in K³

Av1 = (a11*b1, 0, 0; a21*b1, 0 , 0; a31* b1, 0, 0)

Ist doch dann das vielfache b1 von der ersten Spalte?

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wer sagt dir denn  v1 = (b1, 0, 0)

es kann auch v1 = (b1, b2, b3 ) sein.

Av1 = (a11*b1, 0, 0; a21*b1, 0 , 0; a31* b1, 0, 0)  ???

Das muss doch nen Vektor geben, also hier so

Av1 = (a11*b1; a21*b1 ; a31* b1)  als Spalte geschrieben.

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Ja genau meinte ich nur die 1. spalte für Av1. Aber: v1,...,vr mit koeffizienten b sind doch v1=(b1, 0, ..., 0) , ... , vr=(0, ..., 0, br)Damit sie linear unabhängig sind da sie ja eine Summe bilden ?

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Habe mich auf eine Quelle bezogen "Unter dem Rang einer Matrix versteht man die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten- bzw. Zeilenvektoren."

"Und Da die 3. Spalte ein Vielfaches der 1. Spalte ist, sind die drei Vektoren linear abhängig. Die ersten beiden Spalten sind jedoch nicht Vielfache voneinander und somit linear unabhängig, weshalb der Rang dieser Matrix gleich 2 ist: 

rang(A)=2; "