Stochastik: Mindestensaufgabe mit Urnenmodell

Question

In einer Urne liegen 4 rote, 6 schwarze und 10 weiße Kugeln.

a) In einem Experiment werden 8 Kugeln der Reihe nach entnommen und sofort wieder zurückgelegt. Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:

      a. Man zieht genau 1 rote Kugel

      b. Es werden höchstens 6 weiße Kugeln gezogen

      c. Die ersten drei sind verschiedenfarbig, dann folgen nur noch weiße Kugeln

      d. Man zieht abwechselnd weiß und schwarz


b) Wie oft muss man mindestens ziehen (mit Zurücklegen), um mit mindestens 97% Wahrscheinlichkeit mindestens eine rote Kugel zu ziehen?


Bräuchte die Antworten möglichst heute noch :) Danke.

Answer 1

In einer Urne liegen 4 rote, 6 schwarze und 10 weiße Kugeln.

a) In einem Experiment werden 8 Kugeln der Reihe nach entnommen und sofort wieder zurückgelegt. Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:

      a. Man zieht genau 1 rote Kugel

4/20 * (16/20)^7 * 8 = 33.55%

      b. Es werden höchstens 6 weiße Kugeln gezogen

1 - P(7 oder 8 weiße) = 1 - ((10/20)^7 * 10/20 * 8 + (10/20)^8) = 96.48%

      c. Die ersten drei sind verschiedenfarbig, dann folgen nur noch weiße Kugeln

Ich verstehe das so das die ersten drei Kugeln nur nicht weiss sein brauchen. Es geht aber auch 3 mal schwarz oder 3 mal rot.
(10/20)^3 * (10/20)^7 = 0.10%

      d. Man zieht abwechselnd weiß und schwarz

(10/20)^4 * (6/20)^4 * 2 = 0.10%

b) Wie oft muss man mindestens ziehen (mit Zurücklegen), um mit mindestens 97% Wahrscheinlichkeit mindestens eine rote Kugel zu ziehen?

1 - (16/20)^n > 0.97
n > ln(0.03)/ln(16/20) = 15.7

Damit muss man 16 mal ziehen.

Comments

a. Ich hatte 84%, aber das lag daran, dass ich mal 20 (also mal die Gesamtzahl der Kugeln gerechnet hab).

b. 99%. Ich hatte 7 mal weiße falsch berechnet. Hab nur (10/20)^7 gerechnet..

c. Ich glaube eher, dass damit gemeint ist, dass die ersten drei aus 1 x rot, 1 x schwarz und 1 x weiß
bestehen. Da gibt es dann 6 verschiedene Möglichkeiten --> 0,5  * 0,3 * 0,2 * 6 * (10/20)^5

    Ergibt das Sinn?

d. Warum * 2?? Hab's leider ohne * 2 gemacht....


b) 16. Kann nicht glauben, dass ich das richtig hatte :D


Könntest du mich bitte noch ein bisschen korrigieren/erklären? Danke.

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Deine Antwort für c) macht glaube ich mehr Sinn. Rechnung ist soweit auch ok.

Bei d) habe ich die 2 weil man ja mit einer weißen oder schwarzen Kugel beginnen könnte. Es gibt also die Pfade swswswsw oder wswswsws.

Wenn du es allerdings interpretierst das in jedem Fall mit weiß begonnen wird dann ist das ohne die 2 richtig.

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zu a) -> warum noch mal 8 ??

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Weil sich die rote Kugel an 8 Positionen beim Ziehen befinden kann. Damit muss ich eigentlich 8 Pfade aufaddieren, die alle die Gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Also kann ich auch die Wahrscheinlichkeit mal 8 nehmen.