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Liebe community!

Ich muss die Orthogonalprojektion πu(v) mithilfe der Gramschen Matrix berechnen.

gegeben ist der Unterraum U = {x∈ℝ| x1 -x2 +x3 -x4 =0 und x1+x3+x4 = 0}

und v =(1,-1,1,-1)t

Ich habe bis jetzt die Basis von meinem UR berechnet und komme auf die Basisvektoren  b1 = (-1,0,1,0)t und b2 = (-1,-2,0,1)t

Bilde ich Gram(b1,b2) erhalte ich demnach die matrix (2 1 ; 1 6) also in Zeile 1 (2,1) und Zeile 2 (1,6).

Weiters muss man doch (⟨b1,v⟩,⟨b2,v⟩)t berechnen. Nun weiß ich aber nicht wie ich das Skalarprodukt im ℝ4 berechne. Ich dachte über die ∑14 xi*yi wenn nun xi die Elemente von den b Vektoren sind und y, die des v-Vektors. Aber dann kommt bei mir in beiden Fällen 0 raus.

D.h. meine Projektion wäre nur eine NULL-Projektion und das stimmt meines Erachtens nicht.


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bj , v ∈ ℝ4  ;  cj ∈ ℝ

πu(v)  =  \(\sum\limits_{k=1}^{2}( c_i·b_i)\)   mit

\(\sum\limits_{k=1}^{2}( c_i ·<b_i,b_k>)\) = < v , b>   für k=1,2

mit der letzen Zeile erhältst du zwei Gleichungen für c1 und c2 . damit kannst du diese ausrechnen und in die 1. Gleichung einsetzen.

info:

https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalprojektion

Gruß Wolfgang

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