Skalarprodukt vereinfachen von zwei verschiedenen Faktoren. Faktoren sind normiert.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es seien \( x_{1} \) und \( x_{2} \) zwei beliebige linear unabhängige Vektoren im \( \mathbb{R}^{2} \) oder \( \mathbb{R}^{3} \).
(a) Zunächst normiert man \( x_{1} \) und erhält den Vektor \( u_{1}=\frac{x_{1}}{\left|x_{1}\right|} \). Danach bildet man den Vektor
\( u_{2}=\frac{x_{2}-\left(u_{1} x_{2}\right) u_{1}}{\left|x_{2}-\left(u_{1} x_{2}\right) u_{1}\right|} \)
Weisen Sie nach, dass \( u_{1} \) und \( u_{2} \) zueinander orthogonal sind.
(b) Bestimmen Sie mit obigem Verfahren \( u_{1} \) und \( u_{2} \), wenn zwei linear unabhängige Vektoren gegeben sind durch
\( x_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad x_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

b) konnte ich ohne Probleme rechnen; bei a) fehlt es mir nicht am Ansatz, sondern an den richtigen Weg ...
Mir ist klar, dass ich das Skalarprodukt bilden und zeigen muss, dass das Produkt gleich 0 ist. Allerdings fallen mir keine Rechenregeln ein, wie ich diese vereinfachen kann... Vlt kann mir einer helfen.

u₁ • u₂ = \( \frac{x₁}{⌊x₁⌋} \) • \( \frac{x₂•(u1•x₂)•u1}{x₂•(u1•x₂)•u1} \) =

Das ist mein Ansatz, allerdings, weiss ich nicht, wie ich das vereinfachen kann, sodass 0 rauskommt.

Bitte seht es mir nach, wenn ich keinen Bilderbuch Beitrag geschrieben habe. Dieser ist mein erster in diesem Forum ...

Text erkannt:

\( u_{1} \cdot u_{2}=\frac{x_{1}}{\left|x_{1}\right|} \cdot \frac{x_{2}-\left(u_{n} \cdot x_{2}\right) \cdot u_{1}}{\left|x_{2}-\left(u_{1} \cdot x_{2}\right) \cdot u_{1}\right|} \)

Answer 1

\(u_{1} \cdot u_{2}=\frac{x_{1}}{\left|x_{1}\right|} \cdot \frac{x_{2}-\left(u_{1} \cdot x_{2}\right) \cdot u_{1}}{\left|x_{2}-\left(u_{1} \cdot x_{2}\right) \cdot u_{1}\right|} \)

Besser wohl so

\(u_{1} \cdot u_{2}=u_1 \cdot \frac{x_{2}-\left(u_{1} \cdot x_{2}\right) \cdot u_{1}}{\left|x_{2}-\left(u_{1} \cdot x_{2}\right) \cdot u_{1}\right|} \)

Und den Nenner kannst du weglassen,

denn wenn x*y=0 dann auch x*(y/k)=0.

Also betrachte \( u_{1} \cdot u_{2}=u_1 \cdot {x_{2}-u_1 \cdot \left(u_{1} \cdot x_{2}\right) \cdot u_{1}} \)

\( =u_1 \cdot x_{2}-\left(u_{1} \cdot x_{2}\right) \cdot (u_{1} \cdot u_{1} ) = 0\)

weil   \( u_{1} \cdot u_{1}=1 \) .