Inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung

Question

Ich muss folgende Differentialgleichung lösen:

$$ y"-2y'+5y\quad =\quad 1 $$

Bei der homogenen Lösung komme ich auf

y = c₁ e^x cos(2x) + c₂ e^x sin(2x)

Denke dass sollte soweit stimmen. Nun weiß ich allerdings nicht wie ich die partikuläre Lösung erhalte...

Answer 1

Hi,

der inhomogene Teil g(x)=1 ist eine Polynomfunktion vom Grad 0. Ein geeigneter Ansatz bei einem Polynom ist oft ein Polynom des selben Grades, hier also eine konstante Funktion:

y_par(x)=a

Einsetzen in die DGL liefert 5*a=1 --> a=1/5

y_par(x)=1/5

y(x)=y_hom((x) + y_par(x)= c₁ e^x cos(2x) + c₂ e^x sin(2x) + 1/5

Comments

>   Ein geeigneter Ansatz bei einem Polynom ist immer ein Polynom des selben Grades....

Das ist wohl so allgemein nicht richtig, vgl. hier:

http://www.math.tu-dresden.de/~pfeifer/chemie/m2-ss12/tab-ans.pdf

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Ok hab das ganze etwas abgeschwächt^^

Answer 2

Polynome sind als Ansatz immer einen Versuch wert. Fange mit dem einfachsten an.

Answer 3

 

hier findest du eine Tabelle für den Ansatz für die partikuläre Lösung für

lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

http://www.math.tu-dresden.de/~pfeifer/chemie/m2-ss12/tab-ans.pdf

Gruß Wolfgang