Inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung

Question

Hallo bräuchte mit folgender Aufgabe Hilfe gucke mir seit stunden schon YouTube Videos zu an aber hilft mir irgenwie nicht wirklich :

MfG Tobias

Answer 1

Diese DGL kannst Du mit dem Verfahren " Variation der Konstanten" lösen.

Habt Ihr das behandelt?

Forme um zu:

y' (x) - λ y(x)= μ e^{λ x}

weiterer Weg:

1.)  Berechnen der homogenen Gleichung:

y' (x) - λ y(x)=0 (durch Trennung der Variablen)

2.) y_h= C e^{λx}

3.) C=C(x) setzen

y_p=C(x) e^{λx}

y_p '=C '(x) e^{λx} + λ *C(x) e^{λx}

4)yp  und yp '  in die DGL einsetzen.

5) C(x)= μ x

6) y_p=μ x  *e^{λx}

7)y=y_h +y_p

_{8)Anfangsbedingung in die Lösung einsetzen.}

Comments

Hey vielen Dank für die Antwort jedoch bin ich mir ab Schritt 4 immer nicht ganz sicher.

Hab es mal versucht und hab ab Schritt 4 folgendes :

c´(x) * e^λx + λ *c(x) * e^λx  - λ *c(x) * e^λx  = μ * e ^λx

<=>  c´(x) * e^λx = μ * e^λx

<=> c´(x) = μ

c(x) = ∫ μ dx = μ*x+k , für k ∈ ℝ

also y(x) = (μ*x+k) * e^λx  für k ∈ ℝ.

Aber was hat es nun mit der Anfangsbedingung auf sich ?

Tobias

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Wir haben damals gelernt, das speziell bei DIESEM  Verfahren keine Konstante bei der

Integration gesetzt werden braucht.

Aber was hat es nun mit der Anfangsbedingung auf sich ?

Du setzt in die Lösung ein:

für:

y= y₀

x= 0

Dann bekommst DU C

dann setzt Du C ein und bekommst die Endlösung.

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Es tut mir echt leid dich zu nerven aber ich hab da einfach mega ein Brett vorm Kopf.
Beim Beispiel an der Tafel hatten wir auch nach der Integration die Konstante dabei daher habe ich die hier auch mitgenommen.


du sagst ja ich soll einfach y=y₀ setzen und x = 0 um C rauszubekommen.
Aber haben wir C(x) nicht schon berechnet ? Ich ging jetzt davon aus dass
y(x) = (μx +k) e^λx   schon die fertige Lösung ist.

Lg Tobias

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Ich hab es endlich verstanden vielen dank für die antwort :D