Inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung

Question

Aufgabe:

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung

y''-7y'+12y = 12x²+7x

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich das? finde im netz leider keine Besipielaufgabe woran man sich ein bisschen orientieren kann und youtube hat mir auch nicht wirklich weiter geholfen. Bin auch seit Jahren raus aus der Materie und verstehe nur Bahnhof...

Comments

Wo genau hängst Du? Das ist eine StandardDGL mit inhomogenen Anteil. Stichwort Rechte-Seite-Ansatz.

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das ich überhaupt nicht weis, was ich genau machen soll.

den linken teil habe ich erstmal =0 gesetzt und muss ihn doch jetzt irgendwie mit lambda ersetzen oder einsetzen aber ich verstehe gerade gar nichts mehr

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irgendwie mit lampda ersetzen

Das lampda ist ein lambda.

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Ja genau. Das ist schon die richtige Richtung.

Man nennt es das "charakteristische Polynom" das Du aufstellen sollst.

Dafür nutze den Ansatz \(y = e^{\lambda x}\). Das zweimal ableiten und einsetzen. Dann hast Du beinahe Dein charakteristisches Polynom. Das sollte Dir dann bekannt vorkommen ;).

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ok, ich bekomme für lamBda1 = 5/2 raus und für lambda2 = - 19/2. liege ich soweit korrekt oder ist da schon ein fehler drin?

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Nee, ist falsch.

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ok NS bei -3 und 4.... was stelle ich jetzt mit der rechten seite an? wie komme ich da auf eine lösung bzw was wird verlangt?

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Rechne nochmal nach. Die \( -3 \) ist falsch. Aber wenn Du zwei Lösungen hast, dann ist auch $$ y(x) = a e^{\lambda_1 x} + b e^{\lambda_2 x} $$ eine Lösung, mit \( a,b \in \mathbb{R} \).

Für die inhomogene Lösung siehe meine Antwort.

Answer 1

Wie in der letzten Aufgabe, Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen. Die Linearkombination der homogenen Lösungen ergeben dann die allg. homogene Lösung.

Eine partikuläre Lösung bekommt man durch den Ansatz

$$ y_p = ax^2+bx+c $$ Einsetzen von \( y_p \) in die Dgl. und durch Koeffizientenvergleich \( a, b, c\) bestimmen.

Comments

zum eisetzen muss ich aber yp (also den rechten teil)  zwei mal ableiten und die ableitungen dann in y'' und y' und y eisetzen oder?!

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Genau, das ist richtig. Hast Du die Lösungen \( \lambda_1 = 3 \) und \(\lambda_2 = 4 \) der homogenen Gleichung gefunden?

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Yup so ist es :)

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ja, habe ich. die homogene gleichung müsste lauten yh=c1*e^3x + c2*e^4x

jetzt habe ich die rechte seite zwei mal abgeleitet und eingesetzt und zusammengefasst und komme auf eigenartige werte. ( 144x²-252x+73 = 12x²+7x) .... bin ich hier auf dem richtigen weg?

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Nein, das Ergebnis ist nicht richtig. Du musst die Gleichung \( y_p = ax^2 + bx + c \) entsprechend ableiten und dann in die Dgl. einsetzen. Der Koeffizientenvergleich (Koeffizienten von gleichen x Potenzen sind gleich) liefert dann die drei Gleichungen

$$ (1) \quad 2a - 7b + 12c = 0 $$ $$ (2) \quad 12a = 12 $$ $$ (3) \quad 12b - 14a = 7 $$

Die müssen gelöst werden. Dann hast Du eine partikuläre Lösung.

Die allgemeine Lösung sieht dann so aus

$$ y(x) = c_1 e^{3x} + c_2 e^{4x} + ax^2 + bx +c $$ Die Werte \( c_1 \) und \( c_2 \) werdenn durch die Anfangsbedingungen festgelegt, die Du hier aber nicht vorgegeben hast.