Abbildungsmatrix und Basistransformationsmatrix bestimmen

Question

ich habe die entsprechende Aufgabe angefügt, wär toll wenn jemand mir da helfen könnte!

Answer 1

a) Du hast also die Koordinaten bzgl B, die heißen etwa abc und du

suchst die Koordinaten bzgl B' die heißen a'  b'  c' Dann gilt

a+bx+cx^2 = a '  +  b'(x+1) + c ' (x+1) ^2

also Klammern auflösen und Koeffizientenvergleich

a+bx+cx^2 = a '  +  b'(x+1) + c ' (x+1) ^2  = c ' x^2 + (b + 2c) * x  +a+b+c

a ' = a+b+c
b ' = b + 2c
c ' = c

also  Matrix   M

1   1    1 
0   1    2
0   0    1

Abbildungsmatrix, dazu musst du die Bilder der Basisvektoren bestimmen

die Basisvektoren sind b1=1  p2=x   p3= x^2 also

p1(x+3) = 1

p2(x+3) = x+3

p2(x+3) = (x+3)^2  = x^2 + 6x + 9

also Matrix  A=

1   3     9
0   1     6
0   0     1

c) Erst Basiswechsel von B' nach B  dann

Matrix A dann Wechsel rückhgängig, also

M * A * M ^-1 

Comments

Du scheinst M und M^-1 verwechselt zu haben.

Für mich viel interessanter ist folgende Zusatzfrage :
Hier ist ja die Abbildungsmatrix A für die beiden Basen B und B' die gleiche.
Liegt das an der speziellen Wahl dieser Basen oder an der speziellen Abbildung φ ?

Anders gefragt :
- Kann man die Menge aller Basen klassifizieren, bezüglich derer eine gegebene Abbildung φ durch die gleiche Matrix dargestellt wird ?
-Kann man die Menge aller Abbildungen angeben, deren Abbildungsmatrix unabhängig von der gewählten Basis ist ?

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Das Phänomen war mir auch aufgefallen.

Irgendwie hängt da ja auch was zusammen zwischen der

Wahl der Basis B ' und der Abbildung.

Habs noch nicht probiert, aber was wäre bei p(x+2) statt p(x+3)

als Abbildung ?