Aloha :)
Wir bestimmen eine Basis des Kerns der Abbildungsmatrix, indem wir die linearen Abhängigkeiten mittels Zeilen-Operationen aus den Zeilen herausrechnen:x12−14010010x23115−152,51,50x32104−14210x401−22−121000000000000Operation+2Z2⋅(−1)+4Z2 : 2+21Z1−Z1⇒2,5x2+2x3+x4=0⇒x1+1,5x2+x3=0✓Die beiden Bedingungs-Gleichungen stellen wir etwas um:x4=−25x2−2x3;x1=−23x2−x3um die Lösungen einfach angeben zu können:⎝⎜⎜⎜⎛x1x2x3x4⎠⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎛−23x2−x3x2x3−25x2−2x3⎠⎟⎟⎟⎞=2x2⎝⎜⎜⎜⎛−320−5⎠⎟⎟⎟⎞+x3⎝⎜⎜⎜⎛−101−2⎠⎟⎟⎟⎞
Der Kern der Abbildung ist also 2-dimensional. Wir wählen die beiden Basisvektoren des Kerns in unsere Basis B der R4 und füllen mit Vektoren der Standardbasis auf:B=⎝⎜⎜⎜⎛⎝⎜⎜⎜⎛1000⎠⎟⎟⎟⎞,⎝⎜⎜⎜⎛0100⎠⎟⎟⎟⎞,⎝⎜⎜⎜⎛−320−5⎠⎟⎟⎟⎞,⎝⎜⎜⎜⎛−101−2⎠⎟⎟⎟⎞⎠⎟⎟⎟⎞Schreibt man diese Vektoren in eine Matrix, so ist deren Determinante =5, also =0, sodass wir tatsächlich eine Basis des R4 gewählt haben.
Wenn wir diese Matrix von rechts an die Abbildungsmatrix multiplizieren, bleiben die ersten beiden Spalten erhalten und die letzten beiden Spalten werden zu Nullspalten, da wir ja hinten zwei Basisvektoren des Kerns eingetragen haben:
=EM(Φ)E⎝⎛2−1431121001−2⎠⎞⋅=EidB⎝⎜⎜⎜⎛10000100−320−6−101−2⎠⎟⎟⎟⎞==EM(Φ)B⎝⎛2−14311000000⎠⎞
Damit haben wir schon fast eine Basis C der R3, wir füllen noch mit einem "passenden" Vektor aus der Standardbasis auf, in dem Sinne, dass die Determinante =0 ist:C=⎝⎛⎝⎛2−14⎠⎞,⎝⎛311⎠⎞,⎝⎛001⎠⎞⎠⎞Die Determinante ist =5, also =0, sodass tatsächlich eine Basis des R3 vorliegt.
Wir prüfen noch, ob die erhaltene Abbildungsmatrix der geforderten entspricht:CM(Φ)B=CidE⋅EM(Φ)B=(EidC)−1⋅EM(Φ)BCM(Φ)B=⎝⎛2−14311001⎠⎞−1⎝⎛2−14311000000⎠⎞=⎝⎛100010000000⎠⎞✓