Geben Sie eine Matrix A ∈ M(2, ℝ) an, mit der man die Fibonnacci-Zahlen bestimmen kann.

Question

Die Fibonacci-Folge u_{1}, u_{2}, u_{3} ist definiert durch: $$ u _ { 1 } = 1 , u _ { 2 } = 1 \text { und } u _ { k + 1 } = u _ { k } + u _ { k - 1 } \text { für } k \geqslant 2 $$

Also $$ u _ { 1 } = 1 , u _ { 2 } = 1 , u _ { 3 } = 2 , u _ { 4 } = 3 , u _ { 5 } = 5 , u _ { 6 } = 8 , \dots $$

Geben Sie eine Matrix A ∈ M(2, ℝ) an, so dass $$ \left( \begin{array} { c } { u _ { k + 1 } } \\ { u _ { k } } \end{array} \right) = A \cdot \left( \begin{array} { c } { u _ { k } } \\ { u _ { k - 1 } } \end{array} \right) $$

für k≥2 gilt.

Answer 1

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} uk \\ uk-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} uk + uk-1 \\ uk \end{pmatrix} $$

Answer 2

$$ \left( \begin{matrix} { u }_{ k+1 } \\ { u }_{ k } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} { u }_{ k }+{ u }_{ k-1 } \\ { u }_{ k } \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot \left( \begin{matrix} { u }_{ k } \\ { u }_{ k-1 } \end{matrix} \right) $$

Beweis kann sehr einfach über vollständige Induktion geführt werden.

Also beweisen, dass es für k = 2 gilt und dann zeigen das es für k+1 gilt wenn es auch für k gilt.