Frage zu Lagrange Multiplikator

Question

hallo ich habe die folgende Frage: Die Fragestellung lautet: Welcher Punkt des Rotationsparaboloids z=x² +y² ist dem Punkt(1,11/2) am nächsten? Die Aufgabe soll mit Lagrange Multiplikator gelöst werden. Habe leide keine Idee wie man diese Aufgabe lösen sollte: Würde mich auf eine Antwort sehr sehr freuen :)

Comments

Dem Punkt (1,11/2) fehlt eine Koordinate.

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ja es wäre 1,1,1/2 kannst du mir den Ansatz sagen wie man bei dieser Aufgabe vorgehen müsste?

Answer 1

Hi, ich hätte folgenden Ansatz gewählt

$$L(x,y,z,\lambda) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2 +\left(z-\frac{1}{2}\right)^2} + \lambda(z-x^2-y^2)$$ und darauf den Lagrange Formalismuss angewandt. Die Wurzel kann man aber wahrscheinlich weglassen ohne die Lösungsmenge zu verändern, habe ich aber nicht ausprobiert.

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wie kommst du genau auf die Hauptfunktion?

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Hi,

der Abstand eines beliebigen Punktes von (1,1,1/2) berechnet sich zu

$$(x-1)^2 + (y-1)^2 +\left(z- \frac{1}{2} \right)^2$$ und die Nebenbedingung ist $$z - x^2 - y^2 = 0$$

Die Lösung entspricht übrigens der von Oswald. So würde es also auch gehen.

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Wenn Du auf die Funktion $L(x,y,z,\lambda) = (x-1)^2 + (y-1)^2 +\left(z-\frac{1}{2}\right)^2 + \lambda (z-x^2-y^2)$

den Lagrange Algorithmus anwendest kommst Du zu folgendem Gleichungssystem

$$(1) \quad L_x = 2(x-1) -2x\lambda = 0$$

$$(2) \quad L_y = 2(y-1) -2y\lambda = 0$$

$$(3) \quad L_z = 2\left(z-\frac{1}{2}\right) + \lambda = 0$$

$$(4) \quad L_\lambda = z-x^2-y^2 = 0$$

Aus (4) gewinnt man $z(x,y)$ und setzt dies in (3) ein. Daraus gewinnt man $\lambda(x,y)$. $\lambda(x,y)$ setzt man in (1) und (2) ein. Als Lösung erhält man $x = y$. Damit hat man $\lambda(x,y)$ als eine Funktion $\lambda(x)$ erhalten und dies setzt man in (1) ein und bekommt $$x = y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{2}$$ Daraus folgt $$z = \frac{1}{2} \sqrt[3]{4}$$ und zum Schluss $$\lambda = 1-\sqrt[3]{4}$$

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vielen vielen dank hat mir sehr geholfen

Answer 2

Der Abstand zwischen dem Punkt (1, 1, 1/2) und dem Punkt (x, y, f(x,y)) ist

        d(x,y) = √((x-1)² + (y-1)² + (x² + y² - 1/2)²).

Die Summanden in der Wurzel sind nicht negativ. Also ist d(x,y) minimal genau dann wenn

        d²(x,y) = (x-1)² + (y-1)² + (x² + y² - 1/2)²

minimal ist. Bestimme also den Tiefpunkt von d²(x,y). Ich weiß nicht wofür man hier Lagrange-Multiplikatoren braucht.

Comments

danke erstmal für die Antwort.Ich kann die Logik dahinter nicht nachvollziehen. Ich meine ist das immer so, dass man für die nächsten Punkte (x-x0)²+(y-y0)^2und ... nimmt oder hängt das von der Aufgabe ab? woran kann man denn feststellen was die Hauptfunktion  seins sollte

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> dass man für die nächsten Punkte (x-x0)²+(y-y0)^2und ... nimmt

Ich verstehe "für die nächsten Punkte" nicht. Die Funktion d(x,y) kommt von Pythagoras.

> woran kann man denn feststellen was die Hauptfunktion  seins sollte

Ich weiß nicht was du mit "Hauptfunktion" meinst.