Hi, nimm mal folgendes Beispiel:
Minimiere \( f(x,y) = y \) unter der Nebenbedingung \( g(x,y) = y^3 - x^2 = 0 \)
Aus der Nebenbedingung folgt \( y \ge 0 \) und damit liegt das Minimum bei \( (0,0) \)
Aus dem Lagrange Formalismus folgt mit $$ \mathcal{L}(x,y) = f(x,y) + \lambda g(x,y) = y + \lambda (y^3 - x^2) $$ $$ (1) \quad \mathcal{L}_x(x,y) = -2 \lambda x = 0 \\ (2) \quad \mathcal{L}_y(x,y) = 1 + 3 \lambda y^2 = 0 \\ (3) \quad \mathcal{L}_\lambda (x,y) = y^3 -x^2 = 0 $$
aus (1) folgt \( \lambda = 0 \text{ oder } x = 0 \)
aus (2) folgt \( \lambda \ne 0 \) und damit folgt
aus (3) \( y = 0 \) was aber im Widerspruch zu (2) steht.
Also erhält man aus dem Lagrange Formulismus keinen möglichen kritischen Punkt.
Der Grund liegt darin, dass für die Anwendung des Lagrange Formalismus gelten muss
\( \nabla_{x,y} g(0,0) \) muss den vollen Rang haben. Es gilt aber \( \nabla_{x,y} g(0,0) = (0,0) \)
