+1 Daumen
411 Aufrufe

Das Verfahren ist lediglich eine Verschmelzung der konventionellen Rechenschritte beim Lagrange-Multiplikator-Verfahren und spart einem in vielen Fällen Zeit. Allerdings nur, wenn die Matrix quadratisch ist – obwohl es auch für nicht-quadratische mit einigen Tricks klappt.

Einfaches, einleitendes Problem zur Demonstration:

(1)

Die Funktion \(f(x,y)=x+y\) soll unter der Nebenbedingung \(x^2+y^2=1 \Longleftrightarrow x^2+y^2-1=0\)  optimiert werden.

(2)

Man bilde nun die Determinante und setze sie gleich \(0\):$$\begin{vmatrix} f_x & g_x \\ f_y & g_y \end{vmatrix}\stackrel{!}{=}0$$ Hierbei ist \(f_x=1\), \(f_y=1\), \(g_x=2x\) und \(g_y=2y\). Daraus ergibt sich die Determinante:$$\begin{vmatrix} 1 & 2x \\ 1 & 2y \end{vmatrix}\stackrel{!}{=}0$$ Aufgelöst mit der Regel von Sarrus erhält man:$$2y-2x\stackrel{!}{=}0 \Longleftrightarrow \bbox[#FFFF00, 1px]{y=x}$$ Mittels der Nebenbedingung erhält man nun das Endergebnis:$$x^2+x^2-1=0$$$$2x^2=1$$$$x^2=\frac{1}{2}$$$$\therefore \bbox[#FFFF00, 1px]{x_{1,2}=y_{1,2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$ (3) Veranschaulichung des Problems:

blob.png

Beispiel, das veranschaulicht, warum sich das Verfahren lohnt:

(1)

Die Funktion \(f(x,y)=e^{-x^-y}\) soll unter der Nebenbedingung \(g(x,y)=x\cdot y\) optimiert werden.

(2)
Die Determinante beläuft sich hier auf \(\begin{vmatrix} -e^{-x-y} & y \\ -e^{-x-y} & x \end{vmatrix}\stackrel{!}{=}0\) Also wieder mit Hilfe von Sarrus:$$-e^{-x-y}\cdot x+e^{-x-y}\cdot y=0$$$$\Longleftrightarrow -e^{-x-y}\cdot (x-y)=0$$ Da die Exponentialfunktion \((e^x)\) niemals \(=0\) werden kann, ist daraus zu deduzieren, dass wieder \(\bbox[#00ff08, 1px]{y=x}\) gilt.


Mit Hilfe der Nebenbedingung belaufen sich die Lösungen auf \( \therefore x=y=0\)

blob.png

Beispiel mit \(y\neq x\)

Es soll \(f(x,y)=x+20y\) unter der Nebenbedingung \(g(x,y)=\sqrt{x}+y-30\) optimiert werden:$$\begin{vmatrix} 1 & \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ 20 & 1 \end{vmatrix}\stackrel{!}{=}0 \Longleftrightarrow 20\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-1\stackrel{!}{=}0$$$$20\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=0$$$$\therefore x=100$$ Eine Aussage über \(y\) folgt syntaktisch [aus der Nebenbedingung] aus der Aussage über \(x\). Also \(x\vdash y\):$$y=30-\sqrt{100}=20$$ Herleitung:$$\begin{align}L &= f + \lambda g \\ L_x &= f_x + \lambda g_x = 0 && \left| \cdot g_y\right. \\ L_y &= f_y + \lambda g_y = 0 && \left| \cdot g_x\right. \end{align}$$$$\Longrightarrow f_x g_y - f_y g_x = 0  \Longleftrightarrow \begin{vmatrix} f_x & g_{ x} \\ f_y & g_{ y} \end{vmatrix}=0$$

Das Mitglied hat durch den Artikel 50 Bonuspunkte erhalten. Schreib auch du einen Artikel.
geschlossen: Wissensartikel
von racine_carrée
von 19 k

Hallo Anton,

bei beiden Beispielen kannst Du ohne Einschränkung oder Änderung der Aufgabenstellung \(x\) und \(y\) vertauschen. Wenn es dann genau eine Lösung gibt - und es ist genau ein Optimum gesucht, so muss zwangsläufig \(x=y\) sein.

Und warum führt die Determinante zum Optimum?

Gruß Werner

Und warum führt die Determinante zum Optimum?

Konventionelle Methode für die erste Aufgabe:

\(f(x,y)=x+y\) und \(g(x)=x^2+y^2-1\)

\(L(x,y,\lambda)=x+y+\lambda(x^2+y^2-1)\)

Nun \(\nabla  L\)

I. \(1+2\lambda x=0\)
II. \(1+2\lambda y=0\)
III. \(x^2+y^2-1=0\)

Die Determinante \(\begin{vmatrix} f_x & g_y \\ f_y & g_x \end{vmatrix}=0\) leitet sich daraus ab. Das meine ich mit "Verschmelzung der konventionellen Rechenschritte"

Die Determinante \(\begin{vmatrix} f_x & g_y \\ f_y & g_x \end{vmatrix}=0\) leitet sich daraus ab.

Hmm! .. das sehe ich nicht, Ich komme zu einem anderen Ergebnis. Es ist: $$\begin{align}L &= f + \lambda g \\ L_x &= f_x + \lambda g_x = 0 && \left| \cdot g_y\right. \\ L_y &= f_y + \lambda g_y = 0 && \left| \cdot g_x\right. \end{align}$$ die mittlere Gleichung mit \(g_y\) und die letzte mit \(g_x\) multiplizieren; anschließend beide Gleichungen subtrahieren gibt:$$f_x g_y - f_y g_x = 0$$ bzw.: $$\begin{vmatrix} f_x & g_{\bbox[#ffff00, 1px] x} \\ f_y & g_{\bbox[#ffff00, 1px] y} \end{vmatrix}=0$$Der Unterschied spielt bei den Beispielen oben keine Rolle, da dort \(x\) und \(y\) vertauscht werden können! Du solltest vielleicht noch ein anderes Beispiel wählen ;-)

War das nicht das, was ich gesagt habe? Man kann das LGS doch aber gleich in Determinanten-Form schireben, ohne, dass man vorher die Rechenschritte zeigt, wie du. Die Grenzen meiner Sprache sind die Grenzen meiner Welt.

Du solltest vielleicht noch ein anderes Beispiel wählen ;-)

Ich werde gleich eins hinzufügen. Oder hast Du eins, das sich lohnt, zu rechnen?

War das nicht das, was ich gesagt habe?

Nein - bei Dir sind \(g_x\) und \(g_y\) vertauscht! Im Allgemeinen sind die ja nicht gleich.

Achso, jetzt sehe ich das auch - da haben mich die richtigen Ergebnisse wohl keinen Verdacht schöpfen lassen.

Oder hast Du eins, das sich lohnt, zu rechnen?

z.B. einfach \(f(x,y)=3x+4y\) und NB. \(g(x,y)=x^2+y^2=1\). Maximum liegt bei \(x_{opt} = \frac 35\) und \(y_{opt} = \frac 45\). MIt \(f_{opt} = 5\).

nach Deiner Methode wäre $$\begin{vmatrix} f_x & g_y \\ f_y & g_x\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 2y \\ 4 & 2x\end{vmatrix} = 6x-8y = 0 \implies y = \frac 34 x$$Einsetzen in NB gibt \(x = \frac 45\) und \(y= \frac 35\) mit \(f(x,y)= \frac{24}{5} \lt 5\).

Ich habe nun eines bei dem ebenfalls \(y\neq x\). Die Tücken der Methode liegen allerdings darin, wenn es mehr Nebenbedingungen als Variablen gibt: Das lässt sich aber auch lösen.

.. Du solltest noch erwähnen, dass es nach Einsetzen der (korrekten!) Lösung \(x=\frac 34 y\) in die NB, zwei Lösungen gibt!$$\text{NB: } x^2 + y^2 = \frac{9}{16} y^2 + y^2 = 1 \implies y^2 = \frac{16}{25} \\ \implies y_1 = +\frac 45, \space y_2= - \frac 45 $$Was Maximum und was Minimum ist, muss man bei näherer Betrachtung der Hauptbedingung \(f(x,y)\) heraus bekommen. Das ist ein Nachteil des Lagrange-Verfahrens.

Super, dann passt ja alles. Ich werde mal die "Herleitung" von Dir dazuschreiben.

1 Antwort

+1 Daumen

Hallo

 du hast da ein mögliches "Kochrezept" für die Lösung, das vielleicht einen Schritt spart, wobei man dann aber nicht mehr weiss, warum das zu den möglichen Extremwerten führt. Ich sehe nicht, was es wirklich an wesentlichen Vereinfachungen bringt. also zu was soll es dienen? Es sei denn für dich selbst eben als ein mögliches Rezept.

Gruß lul

von 41 k

Ich denke, dass es nichts verwerfliches ist, ein Kochrezept zu erstellen, wenn man versteht, wie man darauf kommt! In Prüfungen kann dadurch Zeit gespart werden. Falls eine Herleitung vonnöten ist, ist diese ziemlich schnell  geschrieben.

Hallo

 ich halte es nicht für etwas "verwerfliches" schon gar nicht, wenn man die Begründung im Hinterkopf hat. On meiner Erfahrung als Lehrer allerdings leitet man die sog. pq #formel mit der quadratischen Ergänzung her. Sobald die S sie einmal haben, vergessen sie die Herleitung und wenden sie blindlings an, sogar auf Gleichungen wie (x-4)^2=1 indem die linke Seite aufgelöst wird und dann pq -Formel oder auf x^2-6=3 usw. Studis im ersten Semester fragen erstaunt, kann man die pq- Formel im Komplexen anwenden. aus solchen Erfahrungen stehe ich Kochrezepten kritisch gegenüber, aber eben nur, wenn man ihre Begründung nicht mehr weiss, und nicht für dich.Für sich selbst so was zu finden find ich gut und ok.

Gruß lul

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community