Dichte und Kovarianz von Funktion mit pi

Question

ich schaffe es nicht, diese Aufgabe zu lösen:

Angenommen (X, Y )‘  hat die Dichte

f(x, y) =          π^-1   falls x²+y²  ≤ 1

0             sonst

(a) Bestimmen Sie die Dichten von X und Y

(b) Berechnen Sie die Kovarianz zwischen X und Y

Danke & Gruß

Answer 1

Hi,
Zu (a)
ich geh davon aus, dass Du mit Dichten die Randdichten meinst. Die Randdichte für die Zufallsvariable \( X \) ist gegeben durch
$$ f_X(x) = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y)\ dy  = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\pi}\ dy = \frac{2}{\pi} \sqrt{1-x^2} $$ Ebenso kann man \( f_Y(y) \) berechnen und erhält
$$ f_Y(y) = \frac{2}{\pi} \sqrt{1-y^2} $$
Jetzt sieht man schon, dass die Zufallsvariablen \( X, Y \) nicht unabhängig sind, weil ja \( \frac{1}{\pi} \ne f_X(x) \cdot f_Y(y) \) gilt.

Zu (b)
Die Kovarianz ist definiert als $$ E [\ (X-E(X))\ (Y-E(Y))\ ] = E(XY) - E(X) E(Y) $$
Es gilt
$$ E(X) = \int_{-1}^1x f_X(x) dx = 0 $$ und ebenso $$ E(Y) = \int_{-1}^1y f_Y(y) dy = 0 $$
Weiter gilt $$  E(XY) = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} x y f(x,y)\ dx\ dy = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} x y \frac{1}{\pi}\ dx\ dy = 0 $$
Also ist die Kovarianz $$ E [\ (X-E(X))\ (Y-E(Y))\ ] = 0  $$
Du hast also hier ein Beispiel für nicht unabhängige Zufallsvariablen die aber unkorreliert sind.