Rechtecke mit gleichem Umfang jenes mir kürzester Diagonale bestimmen

Question

ich muss folgende aufgabe lösen: "Bestimme unter allen Recktecken mit gleichen Umfang jenes mit küzester Diagonale" .

Habe es mit Lagrange versucht, aber habe gehört dass es auch einfacher geht. Bitte bitte die erklärung dazu ,vielen dank !

Answer 1

Nebenbedingung:

U = 2·a + 2·b --> b = 1/2·U - a

Hauptbedingung:

d^2 = a^2 + b^2

d^2 = a^2 + (1/2·U - a)^2

d^2 = 2·a^2 - U·a + 1/4·U^2

Wenn die Diagonale möglichst klein wird, wird auch das Quadrat möglichst klein. Daher kann man einfach das Quadrat untersuchen und braucht nicht die Wurzel ziehen.

(d^2)' = 4·a - U = 0 --> a = 1/4·U

In Nebenbedingung einsetzen

b = 1/2·U - a

b = 1/2·U - (1/4·U) = 1/4·U

Damit hat das Quadrat unter allen Rechtecken die kürzeste Diagonale.

Du solltest noch begründen warum das Extrema tatsächlich ein Minimum ist.

Comments

Wie begründe ich das denn ? Tut mir leid ,dass ich so blöd frage, will aber sicher gehen dass ich das richtig anschreibe :/

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Es gibt mehrere Möglichkeiten. Stichwort 2. Ableitung könnte größer Null sein. Oder d^2 ist eine quadratische. In diesem Fall eine nach oben geöffnete Parabel die wie wir ja wissen nur einen Tiefpunkt hat.