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Hallo ich soll zeigen dass diese Gleichung :

x^2 +y^2+z^2-6x+4y-2z=1 eine Kugel im ℝ^3 beschreibt , und man soll den Mittelpunkt bestimmen .

Die Kugel -Gleichung für ℝ^3 lautet doch x^2 +y^2+z^2=r^2 ; Dann wird r wohl 1 sein .

aber was macht man mit den linearen Termen -6x ,+4y,-2z wie weist man da nach das Hier eine Kugel vorliegt?

von

Ein schönes kostenloses Programm hierfür ist Microsoft Mathematics (64-Bit):

x^2+y^2+z^2-6*x+4*y-2*z=1 ergibt

Bild Mathematik

kann man schön räumlich drehen...

Nur die (Halb-)Kugelränder sind etwas ausgefranzt.

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x2 +y2+z2=r2

Diese Kugel hat das Zentrum im Ursprung. Du kannst den Mittelpunkt M(a,b,c) folgendermassen einfügen:

(x-a)2 +(y-b)2+(z-b)2=r2

Nun machst du quadratische Ergänzungen, so dass die linearen Terme in den Klammern verschwinden.

Versuche das mal. 

x^2 +y^2+z^2-6x+4y-2z=1

Zur Erinnerung: 


Den Radius kannst übrigens du erst zum Schluss richtig ablesen. Er ist nicht 1.  

von 162 k 🚀

Hallo lu ,

für (x^2-6x) =(x-3)^2 -9

für (y^2+4y) =(y+2)^2 -4

für (z^2-2z)= (z-1)^2 -1 .

dann ergibt sich doch (x-3)^2 +(y+2)^2 +(z-1)^2 -14=1

also (x-3)^2 +(y+2)^2 +(z-1)^2 =15 .

Dann ist der radius wohl √15 .

und der Mittelpunkt M=(3,-2,1)

Stimmt das ?

Ok cool.
verstehe ich das richtig das die Mittelpunktskoordinaten beliebige Zahlen aus ℝ sein können aber keine linearfaktoren zb 6x 4y 2z usw , sodass ich die dann wegbringen muss mittels quadratischer ergänzung usw ..
sodass nur mehr reelle Zahlen als MP . Koordinaten bleiben?

Richtig.

Wenn du zufälligerweise rechts eine negative Zahl als r^2 bekommst, dann handelt es sich schlicht nicht um die Gleichung einer rellen Kugel. 

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