Wenn man die Kugelgleichungen subtrahiert voneinander erhält man die Gleichung der Schnittebene.

Question

Hinterfragung eines Vorgangs (mathematisch)

Habe in einer Musterlösung gesehen :

Wenn man 2 Kugeln hat die sich schneiden , entsteht ja ein schnittkreis .......

Dort wurde einfach gesagt wenn man die kugelgleichungen subtraktiert voneinander erhält man die Gleichung der Schnittebene .......

Wie kann man das beweise und warum ist das so ???

Danke

Answer 1

Kugelgleichungen beschreiben Punktmengen.

(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r₁^2

(x-p)^2 + (y-q)^2 + (z-s)^2 = r₂^2

Punkte auf beiden Kugeloberflächen erfüllen beide Gleichungen gleichzeitig.

Da beide Gleichungen x^2 + y^2 + z^2 enthalten, fliegt der quadratische Teil der Gleichungen bei Subtraktion raus.

Es bleibt eine Gleichung, die x,y,z nur noch linear enthält. Das ist eine Ebenengleichung. Diese Ebene enthält alle Punkte auf dem gesuchten Kreis.

(x-a)^{2} + (y-b)^{2} + (z-c)^{2} = r_(1)^{2}        (I)

(x-p)^{2} + (y-q)^{2} + (z-s)^{2} = r_(2)^{2}      (II)

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(x^2 - 2ax + a^2) + (y^2 - 2by + b^2) + (z^2 - 2cz + c^2) = r_(1)^{2}       (I)

(x^2- 2px + p^2)  + (y^2 - 2qy + q^2) + (z^2 - 2sz + s^2) = r_(2)^{2}         (II)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- (I) - (II)

    (2p - 2a)x + a^2 - p^2 + (2q - 2b)y + b^2 - q^2 + (2s - 2c)z + c^2 - s^2 = r1^2 - r2^2

  (2p - 2a)x  + (2q - 2b)y + (2s - 2c)z = r1^2 - r2^2 - a^2 + p^2 - b^2 + q^2 - c^2 + s^2

Das ist die Gleichung der Schnittebene.