Erwartungswert von Sin x und cosx im intervall [0,2pi] berechnen

Question

hallo Zusammen,

Sei x stetig gleichverteilt auf [0,2pi].

Ich soll Erwartungswert von X= sin x und  Y= cos x berechnen.

E(X) = integral von(0 bis 2pi) von sinx *f(x) dx

aber was ist hier mein Dichtfunktion f(x) ? kann mir vielleicht  jemand helfen ?

lg

Answer 1

wenn $x$ gleichverteilt auf $[0, 2\pi]$ ist, dann ist die Dichtefunktion $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2\pi} \text{ für } x \in [0, 2\pi] \\ 0 \text{ sonst} \end{cases} = \frac{1}{2\pi} \mathbf{1}_{[0, 2\pi]}(x)$.

Der Erwartungswert von $X = \sin(x)$ ist dann

$\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[\sin(x)] = \frac{1}{2\pi} \int \sin(x) \mathbf{1}_{[0, 2\pi]}(x) dx = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin(x) dx = 0$.

Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert#Erwartungswerte_von_Fun… für diese Rechenregel.

Der Erwartungswert von $Y = \cos(x)$ ist entsprechend

$\mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[\cos(x)] = \frac{1}{2\pi} \int \cos(x) \mathbf{1}_{[0, 2\pi]}(x) dx = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2 \pi} \cos(x) dx = 0$.

Mister

Comments

vielen danke.... und kann ich Erwartungswert von XY = cos x * sin x = 1/2 sin x genau so rechnen ?

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Bitte. Ich habe meine Antwort zwischenzeitlich noch vereinfacht (editiert).

Ja, sei $Z = \sin(x) \cos(x)$. Dann ist

$\mathbb{E}[Z] = \mathbb{E}[\sin(x) \cos(x)]$

$= \frac{1}{2 \pi} \int \sin(x) \cos(x) \mathbb{1}_{[0, 2 \pi]} dx = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin(x) \cos(x) dx$

$= \frac{1}{2 \pi} [\frac{1}{2} \sin^2(x)]_{0}^{2 \pi} = 0$.

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ich hab noch eine frage zu unabhängigkeit.

X und Y sind nicht unabhängig da fx,y(x,y) = 1/2pi ≠ fx(x) * fy(y) = 1/4pi²

kann ich des so beweisen  ?

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Nein. Die Wahrscheinlichkeitsdichten sind doch keine konstanten Funktionen für $X$ und $Y$.

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ok wie kann ich sonst zeigen dass die zwei nicht unabhängig sind ?? ich weiß dass die zwei nicht unabhägig sind aber ich weiß leider nicht wie ich zeigen kann.

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In einem anderen Forum (nämlich hier  http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=214… ) wird ausgenutzt, dass

$P( X \geq \frac{3}{4}) = P( Y \geq \frac{3}{4}) \neq 0$

ist, aber

$P( X \geq \frac{3}{4} \text{ und } Y \geq \frac{3}{4}) = 0$

gilt. Dadurch wird die Gleichung

$P(A)P(B) = P(A \cap B)$

nicht erfüllt und die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ sind nicht unabhängig.

Um diese Argumentation nachvollziehen zu können, hilft es, sich die beiden Funktionen $\sin(x)$ und $\cos(x)$ auf dem Intervall $[0, 2 \pi]$ vorzustellen. Auf diesem Intervall sind die beiden Funktionen nie gleichzeitig größer als $\frac{3}{4}$.

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Bitte :)