Extremwertaufgabe Getreidesilo

Question

das ist die Aufgabe:

Ein Bauer möchte ein neues Getreidesilo bauen, das die Form eines Zylinders mit einer aufgesetzten Halbkugel erhalten und 80m³ Getreide fassen soll. Die Innenfläche des Silos(ohne Bodenfläche) soll mit einem teuren Isolationsmaterial verkleidet werden. Untersuchen Sie  ob es MAße für die geplante Form des Silos gibt, bei denen die Kosten der ISolierung möglichst gering werden.

Bin schon so weit, dass ich aus Extremalbedingung und Nebenbedingung das zusammengefügt habe:

O(r)= 2*pi*r(80/pi*r^2 - 2/3+r) ++ 2*pi*r^2

Aber wie komme ich jetzt weiter?

Danke für die Hilfe! :)

Answer 1

Ziel: \( M=π⋅2r⋅h+2πr^2 \) → min

NB: \( 80=π⋅r^2⋅h+\frac{2}{3}πr^3 \)

1. Die NB nach h auflösen und in die Zielfunktion einsetzen weil dann als Variable nur r übrig bleibt.

2. Die 1. Ableitung der ZF bilden und Nullsetzen.

3. Ggf. die 2. Ableitung bilden um zu überprüfen ob es sich um ein Minimum handelt.

4. Den ermittelten Wert für r so einsetzen, dass du den Flächeninhalt rausbekommst.