Graphen zeichen und Fragen beantworten

Question

Hallo

Ich soll Funktionen zeichnen und Fragen beantworten

mit dem zeichnen habe ich keine Probleme. Aber mit den Fragen vielleicht kann mir jemand helfen

ich habe die Funktionen y=x², y=x und y=x³

soll jetzt 1. nullstellen

2. Schnittpunkt mit y-Achse

4. Symmetrie

5. Monotonie des Graphen

6. kleinste/größte Funktionswerte

7. gemeinsame markante Punkte

bitte um hilfe

Answer 1

1. nullstellen

Alle Graphen haben die einzige Nullstelle bei x = 0.

2. Schnittpunkt mit y-Achse

Da die Nullstelle im Ursprung ist, ist dieses auch der y-Achsenabschnitt

4. Symmetrie

x^2 ist Achsensymmetrisch

x und x^3 sind punktsymmetrisch zum Ursprung

5. Monotonie des Graphen

x^2 ist für x <= 0 streng monoton fallend, für x >= 0 streng monoton steigend

x und x^3 sind beide streng monoton steigend

6. kleinste/größte Funktionswerte

x^2 hat den kleinsten Funktionswert im Scheitelpunkt, also im Ursprung

Ansonsten sind die Funktionen nicht beschränkt.

7. gemeinsame markante Punkte

Besondere Punkte sind neben dem Ursprung noch (1|1) und (-1|-1) bzw. (-1|1).

Zumindest wenn man sich mal alle Potenzfunktionen x^n anschaut.

Answer 2

Nehmen wir das schwerste:

f(x)=x³

Nullstellen:

dafür die Funktion gleich 0 setzen:

0=x³     

->0=x*x*x         ->x=0  ->eine dreifache Nullstelle bei x=0

Schnittpunkt mit y-Achse

Dafür x =0 setzen:

also:

y=0³ =0             -> Schnittpunkt bei y=0

Symmetrie

Für Punktsymmetrie zum Ursprung muss  -f(x)=f(-x) erfüllt sein:

testen:

-x³= -x³ ->wahr Punktsymmetrisch

Monotonie:

erste Ableitung:

f '(x)=3x²

-> die Ableitung lässt wegen des Quadrates keine negativen Steigungen zu. Die Funktion ist also streng monoton steigend.

kleinste/größte Funktionswerte

Extrema bestimmen:

notwwendige Bedingung:

f '(x)=0 =3x²   ->x1=0

hinreichende Bedingung:

f ''(x1) ≠ 0 = 2*0 =0

Es gibt keine lokalen Extrema. Das erkennt man schon daran dass die Funktion streng monoton steigt.

7.)

Markanter Punkt:

x=0 -> Sattelpunkt

Kriterium dafür -> dreifache Nullstelle oder

f '(x)=0  

f ''(x)=0

f'''(x)≠0

~plot~ x^3 ~plot~