Polstelle berechnen Funktion

Question

Hallo.

Ich habe eine Aufgabe die ich nicht ganz verstehe.

Bestimmen Sie die Polstellen und deren Ordnungen fur folgende Funktionen in Abhängigkeit des Parameters a ∈ R:

f(x)=(x^2+ax+8)/(x^2-4)

Ich schaue mir also den Zähler an und bestimme die Nullstellen. Dann komm ich drauf das für a=6 x1=-2 x2=-4 und für a=-6 x1=4 und x2=2 gilt. 

Jetzt steht in der Lösung: für a=-6 und x2=2: 1. Nullstelle des NENNERS, und x1=4

Und für a=6 und x1=-2: 2. Nullstelle des NENNERS, und x2=-4

Ich verstehe nicht wieso 4 und -4 eine Nullstelle des Nenners ist? Es scheint doch offensichtlich zu sein das 2 und minus 2 eine doppelte Nullstelle des Zählers ist! 4, und -4 wären doch Nullstellen des Zählers! Für den Generischen Fall das a≠+-6 ist gilt das dann auch!

Wäre super wenn mir wer erklären könnte wo mein Denkfehler liegt.

Answer 1

f_-6(x)=(x² - 6x + 8) / (x² - 4) = (x - 2) • (x - 4) / [ (x - 2) • ( x + 2) ]

f₆(x)=(x² + 6x + 8) / (x² - 4) = (x + 2) • (x + 4) / [ (x - 2) • ( x + 2) ]

→ die Nullstellen des Nenners für a = -6   sind   x = 2 und x = -2  (genau wie bei a=6)

Der Unterschied liegt lediglich darin, dass x=2 für a=6 eine Polstelle und für a=-6 eine stetig hebbare Lücke ist, weil man im 2. Fall den Term x-2 wegkürzen kann.

Außerdem hat die Funktion f₆ zwei, f_-6 nur eine Nustelle, weil x=2 eine Definitionslücke ist.

Gruß Wolfgang

Comments

Ok das ich die Funktion so faktorisieren kann hab ich nicht gesehen. Ich denk ich hab es jetzt verstanden. Danke für die Hilfe