Extremwerte berechnen mit Eigenwerten

Question

zu a)

Habe die zweiten partiellen Ableitungen ausgerechnet und in die Hesse Matrix eingesetzt:

$$ \begin{pmatrix} 0 & z & y \\ z & -2 & x \\ y & x & -6z \end{pmatrix} $$

Wollte nun fragen ob es noch einen anderen Weg gibt, um herauszufinden ob es sich um Max/MIn handelt als die Eigenwerte zu berechnen, weil das bei mir irgendwie nicht hinhaut. Das Sylvester Kriterium fällt ja weg, da die erste det 0 ist

Answer 1

für ℝ³ ist mir sonst nichts bekannt. Ich verstehe aber dein Problem mit der Eigenwertberechnung nicht:

In die HM kritischen Punkt einsetzen, in der Hauptdiagonale jeweils  - λ hinzufügen, Determinante ausrechnen = charakteristisches Polynom in λ , dieses = 0 setzen und du hast die Eigenwerte.

Bei b) kannst du so vorgehen:

in die zweiten partiellen Ableitungen den kritischen Punkt einsetzen.

f_xx •  f_yy  -  f_xy²   >  0   →  Extremum

                            < 0    →  Sattelpunkt

                            = 0    →       ?

Bei Extremum:    f_xx > 0   →  Minimum

                                   <  0   →  Maximum

                                   =  0   nicht möglich

Gruß Wolfgang