Fläche Rotationskörper von y=2*√(x) um x-Achse im Intervall 0<x<3

Question

Ich soll die Fläche des Rotationskörpers der durch Drehung der Fläche A um die x-Achse entsteht berechnen. A ist dabei die Fläche, die zwischen der Kurve y=2*sqrt(x) und der x-Achse über dem Intervall 0<x<3 liegt.

Wenn ich diese Gleichung mit der Formel

$$ A = 2 \Pi \int _ { a } ^ { b } y \sqrt { 1 + y` ^ { 2 } } d x $$

berechne, erhalte ich als Ergebnis A=8Π FE.

Laut Lösung setzt sich das Ergebnis aber aus AM=56/3Π und AD=12Π zu AO= 92/3Π.

Leider kann ich das nicht ganz nachvollziehen.

Answer 1

1. Mantel ausrechnen (das schwierigste)

f(x) = y·√(1 + y'^2)

Wenn ich hier mal y einsetze erhalte ich

f(x) = 2·√x·√(1 + 1/x)

2 * pi * ∫ _{0 bis 3} (2·√x·√(1 + 1/x)) dx = 56/3*pi

2. Deckfläche ausrechnen (einfache Kreisfläche)

y(3) = 2·√3

pi·(2·√3)^2 = 12·pi

Gesamtfläche

56/3*pi + 12·pi = 92/3*pi

Comments

Ich habe in meiner Rechnung das selbe dastehen wie du, komme aber auf ein anderes Ergebnis.

2 * pi * ∫ _{0 bis 3} (2·√x·√(1 + 1/x)) dx = ...

Leider komme ich auch gerade nicht auf den Fehler.

Ich rechne doch

$$ 2 * p i · [ ( 2 \cdot \sqrt { x } \cdot \sqrt { ( } 1 + 1 / x ) ) ] _ { 0 } ^ { 3 } $$

sprich

$$ 2 * p i · [ ( 2 \cdot \sqrt { 3 } \cdot \sqrt { ( } 1 + 1 / 3 ) - \sqrt { 1 } ) ] $$

sprich

$$ 2 * p i * ( 3.4641 \cdot 1.1547 - 1 ) $$

Ich weiß einfach nicht wo mein Fehler liegt.

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Dort steht das Integral. Deswegen kannst du nicht einfach in die Funktion f(x) 3 und 0 einsetzen. Du müsstest hier erst die Stammfunktion bilden. Da das aber etwas schwer ist, könnte man das auch numerisch machen, soweit erlaubt.

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Ich soll den Flächeninhalt bestimmen. Leider komme ich bei der Stammfunktion nicht weiter. Könntest du mir den Ansatz für die Numerische Lösung geben?

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Geht vielleicht auch so:

2·√x·√(1 + 1/x)

= 2·√x·√(x/x + 1/x)

= 2·√x·√((x + 1)/x)

= 2·√x·√(x + 1)/√x

= 2·√(x + 1)

= 2·(x + 1)^{1/2}

F(x) = 4/3·(x + 1)^{3/2}