Rotationskörper um die y - Achse

Question

f(x) =x² +1. der Intervall ist [0;10]

Gesucht ist das Volumen und ich muss diese Formel anwenden: V= π * ∫ x² dy

und eine Frage noch dazu kann man den Volumen nur mit der Umkehrfunktion rechnen kder gibt es noch andere Wege?

Answer 1

https://de.wikipedia.org/wiki/Rotationskörper#Rotation_um_die_y-Achs…

πx²*dy  kannst du dir als "kleine" vertikale Zylinder mit Radius x und Höhe dy.

Nun stört dich offenbar das dy (wenn du nach y integrieren musst, brauchst du f^-1).

Alternative hinter dem, was oben in der Formel steht:

Weil dy/dx = f'(x)

gilt dy = |f'(x)| dx.   Betrag stellt sicher, dass gleich ein pos. Resultat herauskommt.

Nun hast du automatisch x-Werte als Grenzen.

f(x) =x² +1. der Intervall ist [0;10]

V = π ∫_(0)¹⁰ x² * 2x dx

= 2π ∫_(0)¹⁰ x³ dx

= 2π 0.25 x⁴ |_(0)¹⁰

= 2π*0.25 * 10⁴ 

=5000π 

Comments

Hallo Lu ,

ich habe die Umkehrfunktion direkt eingesetzt (  Wurzel aus y-1 ) !

Komme aber zu keinem Ergebnis ! Wieso ??

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Was heisst " Kein Ergebnis"? Welche Grenzen hast du genommen? Was ist deine Stammfunktion.

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ich hab 17 1/3 π

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Das ist aber Rotation der Umkehrfuktion um die x-Achse.

Wie kommst du auf deine Grenzen?

f(x) =x² +1.

 Intervall ist [0;10]   Das müsste ein Intervall auf der x-Achse sein.

Das Intervall auf der y-Achse ist [1, 101] . Vgl. Antwort von georgborn. 

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wäre meine Rechnung richtig wenn [0;10]  der Intervall von der y achse wäre?

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Wie man's nimmt. 
Dein y-Bereich sollte richtigerweise erst bei 1 beginnen. Hier deine rotierende Kurve:
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f₁(x) = 1+x²f₂(x) = 1f₃(x) = 10Zoom: x(-11…11) y(-11…11)

Achtung: Wenn du dein y = √(x-1) quadrierst, fliegt einfach die Wurzel weg. Es gibt keinen Grund da noch zusätzlich das x zu quadrieren. Die Rechnung inkl. Fortsetzung siehst du bei georgborn. Nach deiner (unwahrscheinlichen) Interpretation müssten deine Grenzen 1 und 10 sein. Illustration Deiner Interpretation: 
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f₁(x) = 1+x²f₂(x) = 1f₃(x) = 10f₄(x) = √(x-1)x = 10f₅(x) = xZoom: x(-12…12) y(-12…12)f₆(x) =

Answer 2

Hier meine Berechnungen über die Umkehrfunktion