total differenzierbar

Question

ich brauch die lösung bitte.

Danke

Comments

Du musst nur zeigen, dass f im Ursprung stetig ist.

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ja das weiß ich aber bei b und c hab ich schwierigkeiten

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Ich dachte die anderen Teile sind nicht so schwer sry...

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Das merkt man

Answer 1

ja das weiß ich aber bei b und c hab ich schwierigkeiten

b)

 f_x ' (x , y ) =  y^3   *  ( x^2 + y^2 ) ^{- 3/2}  
f_y ' (x , y ) =  x^3   *  ( x^2 + y^2 ) ^{- 3/2}  

c) Betrachte also     q =   ( f ( 0 + t*v )   -  f ( 0 )  ) / t  
dabei ist 0 der Nullvektor und v ein normierter Richtungsvektor ( vx  ,  vy  )
also  (vx)^2 + (vy^2 ) = 1   also

q = (  ( t*vx * t*vy )   /    wurzel ( ( t*vx) ^2 + ( t*vy^2 ) )  )   / t
   =  t^2 * vx * vy     /  (   t *   wurzel ( ( t*vx) ^2 + ( t*vy^2 ) )   )      t kürzen
= t * vx * vy / wurzel ( ( t*vx) ^2 + ( t*vy^2 ) )
= t * vx * vy / wurzel ( t^2 *vx ^2 +  t^2 *vy^2 )
= t * vx * vy / wurzel ( t^2 *(vx ^2 +vy^2 )  )
= t * vx * vy / wurzel ( t^2 *1  )
=  t * vx * vy /   |t|
= t / |t| * vx * vy

Problem ist hier wohl  t / |t|  Das konvergiert für t gegen 0 m.E. nicht.
Das hieße, es existieren nur die einseitigen Richtungsableitungen
(die allerdings alle) im Nullpunkt.

siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Richtungsableitung#Einseitige_Richtungsableitungen