Tangenten Rechnung an einer Funktionenschar: f_(a)(x) = a•e^{a+x}(x ∈ ℝ).

Question

benötige eure Hilfe bei paar Aufgaben:Für jeden Wert von  (a ∈ ℝ), a >0) ist die Funktion f_a gegeben durch  f_a(x) = a•e^a+x(x ∈ ℝ). 
Die Tangente an den Graphen von f_a im Punkt (-1/f_a(-1))wir mit t_a bezeichnet.


Weisen Sie nach, dass für jeden Wert von a die Tangente t_a durch die Gleichung y=a•e^a-1•x+2•e^a-1 beschrieben werden kann.

Für jeden Wert von a schließen die Tangenten t_a und die beiden Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von a.Könnte mir einer vielleicht jemand paar Vorgänge Tipps geben?

Answer 1

benötige eure Hilfe bei paar Aufgaben:Für jeden Wert
von  (a ∈ ℝ), a >0) ist die Funktion f_a gegeben durch  f_a(x) = a•e^a+x(x ∈ ℝ). 
Die Tangente an den Graphen von f_a im Punkt (-1/f_a(-1))wir mit t_a bezeichnet.
Weisen Sie nach, dass für jeden Wert von a die Tangente t_a durch die
Gleichung y=a•e^a-1•x+2•e^a-1 beschrieben werden kann.

f ( x ) = a * e^{a+x}

f ´ ( x ) = a * e^{a+x} * 1
f ´ ( x ) = a * e^{a+x} 

x = -1
f ( -1 ) = a * e^{a-1}
f ´ ( -1 ) = a * e^{a-1}

Tangente
y = m * x + b
f ( -1 ) = f ´(-1) * (-1) + b
a * e^{a-1} =  a * e^{a-1} * (-1) + b
b =  2 * a * e^{a-1} 

t ( x ) =  a * e^{a-1} * x + 2 * a * e^{a-1}

Für jeden Wert von a schließen die Tangenten t_a und die beiden
Koordinatenachsen ein Dreieck ein.  Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses
Dreiecks in Abhängigkeit von a.

Schnittpunkt x-Achse
t ( x ) = 0
a * e^{a-1} * x + 2 * a * e^{a-1} = 0
a * e^{a-1} * ( x + 2 ) = 0

Satz vom Nullprodukt : ein Produkt ist dann 0 wenn einer der Faktoren 0 ist
Die e-Funktion ist stets größer 0
x + 2 = 0
x = -2

Schnittpunkt mit der y-Achse
x = 0
t ( 0 ) =   a * e^{a-1} * 0 + 2 * a * e^{a-1}
t ( 0 ) =   2 * a * e^{a-1}

Dreieck

( x - Achsenabschnitt ) * ( y - Achsenabschnitt ) / 2

A = abs [ (-2) * 2 * a * e^{a-1} / 2 ]

Answer 2

Hi!

Hier meine Lösung zu a.)