Ich habe folgende 2 Aufgaben:
A1)
y´=sin(x)*y+2xexp(-cos(x)) mit 2 Anfangsbedingungen: i)y(0)=2 und ii)y(pi/2)=(pi2)/4
yhomogen=C∗e−cos(x)yspez=x2∗e−cos(x)
Alsoinsgesamt : y=C∗e−cos(x)+x2∗e−cos(x)
Anpassen an die AB´s
i)y(0)=2liefert : C=2ey=2e∗e−cos(x)+x2∗e−cos(x)
i)y(pi/2)=(pi)2/4liefert : C=0y=x2∗e−cos(x)
Stimmt das so?
A2)
y1´=x1y1−y2+x2y2´=x21y1+x2y2mitx∈I : =]o,∞[
a) Zeigensiedassφ1 : =(x2−x)undφ2 : =(−x2log(x)x+xlog(x))einFundamentalsystembilden.
Die Wronski-Determinante dieser Beiden als Matrix liefert x3 und mit dem Definitionsbereich von x: offenes Intervall von 0 bis unendlich verschwindet diese nicht also bilden die ein FUS.
b) Allgemeine Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems
Hier hab ich irgendwie ein Problem. Wäre es von der form y1´= 5y1-4y2 +b(x) und so weiter, dann ist klar was zu tun ist, aber ich kann mit der Abhängigkeit der Vorfaktoren von x irgendwie nichts anfangen. Habe Versucht es erst ein Mal als Matrix und Vektoren aufzuschreiben(y´=Ay+B(x) ), aber wenn ich dann zu Eigenwerten und Eigenvektoren der Matrix übergehe verschwindet leider die Abhängigkeit von x nicht und am ende kommt als Eigenvektor (0,0) raus, was man ja niocht will... Wie komme ich denn an die homogene Lösung? Die Spezifische ist ja glaube ich gegeben durch:
∫(φ1φ2)∗b(x)dx