Quader ohne Deckel aus quadratischem Blatt herstellen. Wie kann man Volumen maximieren?

Question

aus einem quadratischen Blatt mit den Seitenlängen a und a, soll ein Würfel bzw. ein Quader konstruiert werden.

Der "Karton" der entsteht soll aber keinen Deckel haben. Dieser soll nun mit dem maximalen Volumen konstruiert werden.

Ich würde mich über eine Antwort freuen!

 

Answer 1

Ich mache zunächst mal eine Skizze. Rechnung kommt dann etwas später:

Comments

Ja, danke. Die Skizze habe ich mir auch schon gemacht.

Ich komm bei meiner Rechnung mit der Funktion:

V(x)= a² * x

einfach nicht weiter.

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Ich würde also aus dem quadratischen Blatt an jeder der vier Ecken ein Quadrat mit der Kantenlänge x ausschneiden. Dann klappe ich die Seitenteile nach oben und erhalte eine nach oben geöffneten Würfel.

Das Volumen berechnet sich aus
V = (a - 2x)^2 * x = 4x^3 - 4ax^2 + a^{2}x
V' = 12x^2 - 8ax + a^2 = 0

Mit der abc Lösungsformel ergeben sich hier die Lösungen x = a/6 ∨ x = a/2

Wenn x = a/2 ist schneide ich alles weg, also bleibt als Lösung nur x = a/6.
V'' = 24x - 8a = 24a/6 - 8a = 4a - 8a = -4a < 0 --> Hochpunkt

es entsteht ein Volumen von

V = = 4(a/6)^3 - 4a(a/6)^2 + a^{2}(a/6) = 2/27*a^3

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