Rechteckiges Stück Pappe. Quadervolumen maximieren => Extremwertaufgabe.

Question

Aufgabe: Aus einem rechteckigem Stück Pappe mit den Seitenlängen 40cm und 25cm soll man einen Kasten ohne Deckel herstellen, indem man an jeder Ecke ein Quadrat ausschneidet und die entsprechenden Seitenlängen nach oben biegt.

=> Folgende Hilfe ist gegeben:

*Die Länge des Kastens lässt sich mit Hilfe der Höhe des Kastens darstellen.

*Die Breite des Kastens lässt sich mit Hilfe der Höhe des Kastens darstellen.

Ermittle das maximale Volumen.

Folgendes habe ich bereits.

x=25cm y=40cm
V=a*b*c

Nebenbedingung 40=b+2*c                       
Nebenbedingung2 25=a+2*c                     
Die Zielfunktion soll folgendermaßen aussehen: V(c)=..

Dankeschön!

Answer 1

Deine Nebenbedingungen sind schon ganz richtig, du musst sie nur noch nach a bzw. b auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen.

Du erhältst als Nebenbedingungen:

a = 25 - 2 c
b = 40 - 2 c

und als Hauptbedingung:

V ( c ) = a * b * c = ( 25 - 2 c ) * ( 40 - 2 c ) * c

Und nun sollst du den Wert von c so bestimmen, dass V ( c ) maximal wird, also eine Extremwertaufgabe lösen.

Schaffst du das nun selber?

Comments

danke für den Start.

Leider kann ich solche Aufgaben überhaupt nicht lösen, deswegen benötige ich Hilfe dabei.

muss ich nun (25-2c) * (40-2c) machen und die entstehende klammer mit c multiplizieren?

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Nun, V ( c ) hat höchstens dort einen Extremwert, wo für die Ableitung V ' ( c ) gilt:

V ' ( c ) = 0

Die erhältst du, indem du entweder den Term von  V ( c ) ausmultiplizierst und dann auf die einzelnen Summanden des entstehenden Polynoms die Potenzregel anwendest oder indem du den Term von V ( c ) mit Hilfe der erweiterten Produktregel direkt ableitest. Ich führe letzteres mal vor:

V ( c ) = ( 25 - c ) * ( 40 - c ) * c

Die erweiterte Produktregel für drei Terme lautet:

( u * v * w ) ' = u ' * v * w + u * v ' * w + u * v * w '

wobei vorliegend

u = 25 - 2 c => u ' = - 2

v = 40 - 2 c => v ' = - 2

w = c => w ' = 1

ist, also:

V ' ( c ) =  [ ( 25 - 2 c ) * ( 40 - 2 c ) * c ] '

= - 2 * ( 40 - 2 c ) * c + ( 25 - 2 c ) * ( - 2 ) * c + ( 25 - 2 c ) * ( 40 - 2 c ) * 1

= - 80 c + 4 c ² + 4 c ² - 50 c + 1000 - 50 c - 80 c + 4 c ²

= 12 c ² - 260 c + 1000

Nun die Ableitung gleich Null setzen:

V ' ( c ) = 0

<=> 12 c ² - 260 c + 1000 = 0

<=> c ² - ( 65 / 3 ) c = - 250 / 3

<=> c ² - ( 65 / 3 ) c + ( 65 / 6 ) ² = ( 65 / 6 ) ² - ( 250 / 3 ) = ( 4225 / 36 ) - ( 3000 / 36 ) = 1225 / 36

<=> ( c - ( 65 / 6 ) ) ² = 1225 / 36

<=> c - ( 65 / 6 ) = +/- √ ( 1225 / 36 ) = 35 / 6

<=> c = +/- ( 35 / 6 ) + ( 65 / 6 )

<=> c = - ( 35 / 6 ) + ( 65 / 6 ) = 5

oder c = ( 35 / 6 ) + ( 65 / 6 ) = 50 / 3

50 / 3 cm ist jedoch zu viel, denn Quadrate mit solcher Kantenlänge lassen sich aus dem 40 * 25 cm Pappstück nicht herausschneiden. Einzige Lösung daher:

c = 5 cm

Der entstehende Kasten mit maximalem Volumen hat also die Abmessungen

a * b * c = ( 25 - 2 c ) * ( 40 - 2 c ) * c

= ( 25 - 10 ) * ( 40 - 10 ) * 5

= 15 * 30 * 5

und sein Volumen beträgt:

= 2250 cm ³

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Danke dir!! könntest du mir aber die ausgangsfkt ausklammern und nicht mit dieser Regel?
Denn wir haben das noch nicht im Unterricht vorgenommen

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@Anonym: Das was du vorgeschlagen hattest ( ausmultiplizieren) muss auch funktionieren. So kannst du das Resultat von JotEs ausgezeichnet nachprüfen.

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@Lu Kann man die Extremstelle c auch mit der PQ-Formel ausrechnen?

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Anscheinend nicht, kommt iwas mit 15000 raus.

Ich verstehe den Weg von JotEs nicht.
Ach das mit dem multiplizieren hat geklappt. :D

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V ( c ) = a * b * c = ( 25 - 2 c ) * ( 40 - 2 c ) * c

= (1000 - 80 c - 50c + 4c^2) * c

= 4c^3 - 130 c^2 + 1000c

V' (c) = 12c^2 - 260c + 1000 = 0.

Das ist doch genau dasselbe wie  " 12 c ² - 260 c + 1000 = 0 " bei JotEs. 

Answer 2

Das gleiche musste ich auch grade lösen und habe es mit der hilfe hier im forum geschafft, gib das mal in die suche ein, du wirst auf jeden fall für den gleichen aufgabentyp fündig, du musst nur die zahlen ändern.
Viel erfolg, ist wirklich nicht so schwer :-)