Hauptnenner von Bruchtermen finden: 4a/(a+7) - (a+7)/(4a)

Question

hallo icgh habe eine frage . wie findet man den hauptnenner von bruchgleichungen ? also z.b für die aufgabe 4a/a+7 - a+7/4a und was ist faktorisieren ? dankeee

Gemeint ist:

4a/(a+7) - (a+7)/(4a)

Answer 1

Bitte Klammer man den kompletten Zähler und Nenner, wenn es nötig ist. Ich nehme an es lautet wie folgt:

4a/(a+7) - (a+7)/(4a)

Im Zweifel ist der Hauptnenner das Produkt aller Nenner. Hier (a + 7) * (4a)

4a*4a/((a+7)*(4a)) - (a+7)(a+7)/((a+7)*(4a))

16a^2/((a+7)*(4a)) - (a^2 + 14a + 49)/((a+7)*(4a))

(16a^2 - (a^2 + 14a + 49))/((a+7)*(4a))

(16a^2 - a^2 - 14a - 49))/((a+7)*(4a))

(15a^2 - 14a - 49))/((a+7)*(4a))

Faktorisieren heißt einen Term in eine Multiplikation zu zerlegen. Am einfachsten ist das wenn man die Nullstellen kennt. Ich mache das mal beim Zähler des Bruches den wir gerade erhalten haben.

15a^2 - 14a - 49

Ich möchte den jetzt Faktorisieren. Dazu bestimme ich die Nullstellen. Die abc-Formel liefert mir als Lösung a = 7/3 und a = -7/5

Damit kann ich das jetzt als Produkt schreiben

15a^2 - 14a - 49 = 15*(x - 7/3)*(x + 7/5)

Wenn man keine Brüche mag, kann man die 15 jetzt schön auf die Klammern aufteilen

15*(x - 7/3)*(x + 7/5) = 3*(x - 7/3)*5*(x + 7/5) = (3x - 7)*(5x + 7)

Das nennt sich jetzt faktorisiert in Linearfaktoren.

Comments

Der Zähler lässt sich als Differenz zweier Quadrate direkt faktorisieren:

(4a)^2-(a+7)^2 = (4a-(a+7))*(4a+(a+7)) = (3a-7)*(5a+7)

(Das sind zwei Umformungen anstelle von ungefähr 20.)

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Ich wollte ja den Zähler eigentlich gar nicht faktorisieren.
Mir ist nur nach der Antwort aufgefallen das der Fragesteller noch wissen wollte was faktorisieren ist und dann habe ich das nur exemplarisch an dem Zähler gemacht.

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Ach so. Ich hatte die Frage nach dem Faktorisieren hier irgendwie als Teil der Aufgabenstellung aufgefasst.

Answer 2

Den Hauptnenner von Bruchgleichungen findet man, indem man das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner ermittelt und alle Brüche so erweitert, dass sie dieses kgV als Nenner haben. 

In Deinem Beispiel: 

4a / (a+7) - (a + 7) / 4a

Hier ist das kleinste gemeinsame Vielfache von (a + 7) und 4a:

4a * (a + 7)

Die obige Differenz würde dann geschrieben als: 

(4a * 4a) / (4a * (a + 7)) - (a + 7) * (a + 7) / (4a * (a + 7)) =

16a^2 / (4a^2 + 28a) - (a + 7)^2 / (4a^2 + 28a) =

(16a^2 - a^2 - 14 a - 49) / (4a^2 + 28a) =

(15a^2 - 14a - 49) / (4a^2 + 28a)

 

Jetzt könnte man den Nenner noch faktorisieren, also in ein Produkt verwandeln: 

4a^2 + 28a = 4a * (a + 7)

 

Damit würde sich die Differenz schreiben lassen als: 

(15a^2 - 14a - 49) / (4a * (a + 7))

Comments

Hi, Du hast den bereits faktorisierten Nenner erst ausmultipliziert und dann wieder faktorisiert...

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Stimmt, aber in der Frage hieß es ja auch: "... was ist faktorisieren?"

Das wollte ich hiermit beantworten :-)

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Ok, ich sehe ein, dass die Frage oben so interpretiert werden kann.