Integral. Länge der Kurve der Funktion f(x)=2*x^2?

Question

 

Ich habe die folgende Aufgabe bei der ich nicht recht weiß  ob ich es richtig mache. Es soll die Länger der Kurve

 f(x)=2*x^2 berechnet werden, Unzwar über eine Stammfunktion und ein Näherungsverfahren. 

Intervall (0,1)

Bei der Rechnung mit der Stammfunktion habe ich gemacht und bin zu dem Ergebnis gekommen die Kurve hat eine Länge von ungefähr 2,32 

Beim Näherungsverfahren bin ich mir nicht sicher. Ich habe es zunächst mit dem Simpson Verfahren versucht komme aber zum Ergebnis 0,6.

Das kann nicht ganz stimmen !

Comments

Wäre es möglich deine Rechnung für beide Rechnungen hochzuladen.

Das wäre eine sehr große Hilfe!!

Answer 1

das sich ergebende Integral für die Bogenlänge lautet:

L=∫₀¹  √[1+16x^2] dx

die Simpson Formel lautet:

L(f)=(b-a)/6*(f(a)+f(b)+4*f((b-a)/2))

f(x)=√[1+16x^2] , a=1, b=0

Setzt man die Werte ein, ergibt sich L(f) ≈ 2.344

Du hast vermutlich irgendwo einen Tippfehler bei der Berechnung gemacht.

Auch mit Riemannschen Obersummen kann man es annähern, aber man muss ziemlich viele Summanden betrachten für einen genauen Wert, daher Simpson Formel hier geeigneter.

Obersummen mit äquidistanter Unterteilung, n Anzahl der Teilintervalle

L(f)≈1/n*∑_k=1ⁿ f(k/n)=1/n*∑_k=1ⁿ √[1+16(k/n)^2]

Das Ergebnis wird genauer, je größer n wird.

n=10: L=2.48278

n=20: L=2.4022

n=50: L=2.35457

n=80: L=2.34296

usw.

Comments

Also ich habe mich noch nicht so lange mit der Simpson  Methode beschäftigt aber ich gebe es wie folgt ein: 

1/6*( 0+4*1/2 +2) ein für f(0)=0 und f(1)=1/2 

Ist das nicht richtig?

---

Mit f(0) ist der Funktionswert an der Stelle 0 gemeint,also den Wert x=0 in die Wurzel einsetzen:

 f(0)=√1+0^2=1, 

f(1)=√1+16*1^2=√17

4*f(a+b/2)=4*f((0+1)/2)=4*f(1/2)=4*√1+16*(1/2)^2=4*√1+4=4*√5

1/6*(4*√5+1+√17)=2.344

---

Ich danke dir vielmals hat mir sehr geholfen!

---

Ich hätte noch eine kurze Frage, Unzwar habe ich für das  integral beim ersten mal die folgende Stammfunktion bekommen: 

(4x*wurzel(16x^2+1))/2 +arsinh(4x)/2 

Ich bin aber zu einem anderen Ergebnis gekommen als 2,3 

Wieso ist die Form falsch?

---

Laut wolfram alpha lautet die Stammfunktion:

$$ x*\sqrt { 1+(4x)^2 }/2+arsinh(4x)/8 $$

vielleicht hast du bei der Substitution 4x=t vergessen , dass dx=dt/4, es fehlt ja bei deinem Ergebnis der Faktor 1/4

Answer 2

Bei der Rechnung mit der Stammfunktion habe ich gemacht und bin zu
dem Ergebnis gekommen die Kurve hat eine Länge von ungefähr 2,32

Dies ist auch mein Ergebnis über die Formel für die Bogenlänge.