Aloha :)
Du bist offensichtlich bis zum richtigen Integral gekommen, das du wie folgt substituieren kannst:$$L=\int\limits_0^2\sqrt{1+16x^2}dx=\left\{\begin{array}{l}y:=4x& dx=\frac{1}{4}dy\\y(0)=0 & y(2)=8\end{array}\right\}=\frac{1}{4}\int_0^8\sqrt{1+y^2}dy$$Wir bestimmen das Integral mittels partieller Integration:
$$I:=\int\sqrt{1+y^2}dy=\int1\cdot\sqrt{1+y^2}dy=y\sqrt{1+y^2}-\int y\frac{1}{2\sqrt{1+y^2}}2y\,dy$$$$\phantom{I}=y\sqrt{1+y^2}-\int\frac{y^2}{\sqrt{1+y^2}}dy=y\sqrt{1+y^2}-\int\frac{y^2+1-1}{\sqrt{1+y^2}}dy$$$$\phantom{I}=y\sqrt{1+y^2}-\int\left(\frac{y^2+1}{\sqrt{1+y^2}}-\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\right)dy$$$$\phantom{I}=y\sqrt{1+y^2}-\underbrace{\int\sqrt{1+y^2}dy}_{=I}+\int\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}dy$$$$\Rightarrow\quad2I=2\int\sqrt{1+y^2}dy=y\sqrt{1+y^2}+\int\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}dy$$Jetzt sind wir fast da. Als guter Mathematiker kennt man die folgenden sehr wichtigen Ableitungen:$$\left(\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)\right)'=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\quad;\quad\left(\text{arcsinh}\left(\frac{x}{a}\right)\right)'=\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$$und kann mit der zweiten das Integral hinschreiben:$$\int\sqrt{1+y^2}dy=\frac{1}{2}y\sqrt{1+y^2}+\frac{1}{2}\text{arcsinh}(y)+\text{const}$$Die Länge der Kurve ist damit:
$$L=\frac{1}{4}\left[\frac{1}{2}y\sqrt{1+y^2}+\frac{1}{2}\text{arcsinh}(y)\right]_0^8=\frac{1}{8}\left[8\sqrt{65}+\text{arcsinh}(8)\right]$$$$\phantom{L}=\sqrt{65}+\frac{1}{8}\text{arcsinh}(8)\approx8,4093$$
