Grenzen bei Doppelintegral

Question

Könnte mir jemand beantworten, warum bei diesem Integral die obere Grenze  des Integrals nach dy 1-x ist?

_S  ∫ e^x+y d (x,y)

= ₀ ∫¹ ₀ ∫^1-x  e^x+y dydx

S:= { (x,y) ∈ ℝ² | x,y ≥0, x+y ≤1 }

Wäre super, wenn mir das jemand beantworten kann! Ich kann das einfach nicht erkennen warum die Grenzen so gewählt sind.

Vielen Dank schon mal!

Answer 1

aus x,y>=0 folgt,dass die unteren Grenzen für x und y jeweils 0 sein müssen.

Aus der zweiten Bedingung x+y<=1 erkennt man, dass x und y jeweils maximal 1 sein können, da für z.B x=1.1

x+y>=1 für alle y>=0

Wir wählen also für x die obere Grenze 1

Die zweite Bedingung können wir auch Umformen zu y<=1-x

--> die obere Grenze für y muss 1-x sein, da ansonsten ein Widerspruch zu den Bedingungen vorherrscht. Andererseits haben wir alle möglichen Punkte abgedeckt.

Hier die betrachte Fläche:

~draw~ dreieck(0|0 0|1 1|0);zoom(2) ~draw~