eine Antwort zu dieser Frage lässt sich in Wikipedia unter https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und_konkave_Funktionen#Umkehrfunktionen finden:
Da \( f \) konvex ist, gilt
\( f(t x + (1-t) y) \leq t f(x) + (1-t) f(y) \).
Da \( f \) invertierbar ist, ist \( f(x) \) eindeutig für alle \( x \). Wähle \( u = f(x) \) und \( v = f(y) \). Dann ist
\( f(t f^{-1}(u) + (1-t) f^{-1}(v)) \leq t u + (1-t) v = f(f^{-1}(tu + (1-t) v)) \).
Ist nun \( f \) streng monoton fallend, so gilt
\( t f^{-1}(u) + (1-t) f^{-1}(v) \geq f^{-1}(tu + (1-t) v) \),
das heißt, \( f^{-1} \) ist konvex.
Ist \( f \) streng monoton wachsend, so gilt
\( t f^{-1}(u) + (1-t) f^{-1}(v) \leq f^{-1}(tu + (1-t) v) \),
das heißt, \( f^{-1} \) ist konkav.
Mister
