Es seien I, J ⊂ ℝ Intervalle und f: I → J eine streng monotone, konvexe und differenzierbare Funktion. Zeigen Sie:

Question

Seien I, J ⊆ R Intervalle und f : I → J eine streng monotone, konvexe und differenzierbare Funktion. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a) f ist streng monoton fallend ⇒ f^-1 ist konvex

b) f ist streng monoton wachsend ⇒ f^-1 ist konkav

Answer 1

eine Antwort zu dieser Frage lässt sich in Wikipedia unter https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und_konkave_Funktionen#Umkehrf… finden:

Da $f$ konvex ist, gilt

$f(t x + (1-t) y) \leq t f(x) + (1-t) f(y)$.

Da $f$ invertierbar ist, ist $f(x)$ eindeutig für alle $x$. Wähle $u = f(x)$ und $v = f(y)$. Dann ist

$f(t f^{-1}(u) + (1-t) f^{-1}(v)) \leq t u + (1-t) v = f(f^{-1}(tu + (1-t) v))$.

Ist nun $f$ streng monoton fallend, so gilt

$t f^{-1}(u) + (1-t) f^{-1}(v) \geq f^{-1}(tu + (1-t) v)$,

das heißt, $f^{-1}$ ist konvex.

Ist $f$ streng monoton wachsend, so gilt

$t f^{-1}(u) + (1-t) f^{-1}(v) \leq f^{-1}(tu + (1-t) v)$,

das heißt, $f^{-1}$ ist konkav.

Mister