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a) f(x) = sin(x)

b) g(x) = x^3 + 3x^2 + 3x - 7

auf die Bereiche, auf denen f monoton fallend bzw. steigend und konvex bzw. konkav ist. Wo sind die Wendepunkte?
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a) f(x) = sin(x)

Mononon steigend im Bereich von (-pi/2 + 2k*pi) bis (pi/2 + 2k*pi)
Monoton fallend im Bereich von (pi/2 + 2k*pi) bis (3/2*pi + 2k*pi)
Konvek im Bereich (pi + 2k*pi) bis (2*pi + 2k*pi)
Konkav im Bereich (0 + 2k*pi) bis (pi + 2k*pi)

Diese Bereiche sind leicht abzulesen, wenn man sich die Funktion einmal wie oben skizziert. Wenn ein rechnerischer nachweis gebraucht ist hier die Bedingungen:

Monoton Steigend → f'(x) >= 0
Monoton Fallend → f'(x) <= 0
Konvex → f''(x) > 0
Konkav → f''(x) < 0

Probier vielleicht selber mal die rechnerischen Bedingungen zu prüfen.

von 430 k 🚀

g(x) = x^3 + 3x^2 + 3x - 7
g'(x) = 3x^2 + 6x + 3
g''(x) = 6x + 6

Monoton steigend g'(x) >= 0

3x^2 + 6x + 3 >= 0 | Lösen mit abc-Formel
Es gibt nur eine Nullstelle bei -1. Daher ist die Funktion überall monoton steigend.
Monoton fallend ist die Funktion in keinem Bereich.

Konvex f''(x) > 0

6x + 6 > 0
x > -1

Für Stellen > -1 ist die Funktion konvex.
Für Stellen < -1 ist die Funktion konkav.

Skizze:

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