Question

Bestimme alle ganzrationalen Funktionen von Grad 3, deren Graph durch A(-2/2), B(0/2)und C(2/2) geht und die X-Achse berüht.

Wäre nett wenn mir dabei jemand helfen könnte und mir den Rechnungsweg aufschreiben kann komme mit der aufgabe kaum zurecht.

Bis jetzt habe ich wenn es richtig ist

A(-2/2) f(-2)=2 --> a*(-8)+b*4+c*(-2)+d=2

B(0/2) f(0)=2 --> a0+b0+c0+d=2  --->d=2

C(2/2) f(2)=2 --> a8+b4+c2+d=2

f``(0)=0   --> a6*0+b*2=0 --->b=0  <---- weil wendepunkt

so wie bekomme ich jetzt die Funktionsgleichung daraus?

Comments

Warum soll bei x=0 ein Wendepunkt sein?

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Ich war mir der sache auch nicht sicher aber wenn man eine skizze macht kann man da einen vermuten

Answer 1

" wenn man eine skizze macht kann man da einen vermuten "

A(-2/2), B(0/2)und C(2/2)

Richtig aus Symmetriegründen (alle 3 Punkte sind gleich hoch und symmetrisch verteilt).

Erstelle die Gleichung für die Funktion g durch 

A(-2/0), B(0/0)und C(2/0)

g(x) = a*x(x+2)(x-2) 

Nun kannst du dafür sorgen, dass g (minimalstelle) = -2.

==> 2 mögliche a.

Danach noch g nach oben verschieben. 

Anderer Weg

Dein Ansatz

A(-2/2) f(-2)=2 --> a*(-8)+b*4+c*(-2)+d=2

B(0/2) f(0)=2 --> a0+b0+c0+d=2  --->d=2

C(2/2) f(2)=2 --> a8+b4+c2+d=2

f``(0)=0   --> a6*0+b*2=0 --->b=0  <---- weil wendepunkt

führt sofort zu

-8a  - 2c + 2 = 2     (I)

8a + 2c + 2 = 2      (II) im Prinzip wieder (I).

-2c = 8a

c = -4a

Nun weisst du

y = ax^3 - 4ax

Nun die Vorgabe mit der doppelten Nullstelle noch berücksichtigen.

Comments

g(x) = a*x(x+2)(x-2) =ax(x^2-4) = ax^3 - 4ax

g'(x) = a (3x^2 - 4)

Nun kannst du dafür sorgen, dass g (minimalstelle) = -2.

Minimalstelle: 3x^2 - 4 = 0

3x^2 = 4

x^2 = 4/3

x = ± 2/√3

==> 2 mögliche a.

g(2/√3) = a(2/√3)(4/3 - 4) = 2 

a(2/√3)(4/3 - 12/3) = 2 

a(2/√3)( - 8/3) = 2 

a(1/√3)( 8/3) = -1

a = -3√3/8 

g(x) = -3√3/8 * x (x-2)(x+2) 

g(-2/√3) = a(2/√3)(4/3 - 4) = 2 

a(-2/√3)(4/3 - 12/3) = 2 

a(-2/√3)( - 8/3) = 2 

a(1/√3)( 8/3) = 1

a = 3√3/8 

g(x) = 3√3/8 * x (x-2)(x+2) 

Danach noch g nach oben verschieben. 

f(x) = -3√3/8 * x (x-2)(x+2) +2 oder

f(x) = 3√3/8 * x (x-2)(x+2) + 2

Kontrolle für den ersten Fall mit dem Plotter:

~plot~ (-3*sqrt(3))* x *(x-2)*(x+2)/8 ; 2- (3*sqrt(3))* x *(x-2)*(x+2)/8; ~plot~

Answer 2

Hi, diese schöne Aufgabe lässt sich mit einem anderen Ansatz in einer halben Zeile erledigen!

Comments

wie denn? ich komme da nicht drauf kannst du es mir erklären oder ein denkansatz geben?

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Die von mir erwähnte "halbe Zeile" wird wohl doch nicht ganz genügen. Mein Ansatz wäre:

$$ f(x) = a \cdot (x+2) \cdot x \cdot (x-2) + 2 $$Du kannst dir ja einmal überlegen, warum das so sein muss. Nun muss der einzige noch verbleibende Parameter \(a\) noch so bestimmt werden, dass der Graph von \(f\) die x-Achse berührt, also eine mehrfache Nullstelle vorliegt.