bestimme den Kreis in der Parabel

Question

Bestimmen Sie den Kreis k(M/r) mit M(0/r) und möglichst großen r, der in die Parabel P3 mit der Gleichung y=1/5 x² hineinpasst, diese im Scheitelpunkt berührt und keinen weiteren Punkt mit P3 gemeinsam hat.

Comments

Die Krümmungen von Kreis und Parabel im Scheitelpunkt müssen hier übereinstimmen. Berechne schon mal die Krümmung der Parabel im Scheitelpunkt.

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Wie berechne ich das?

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Kannst du noch nicht ableiten?

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Doch, aber dazu muss man ja erstmal wissen, dass man dazu ableiten muss

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Meistens werden solche Aufgaben doch nicht einfach so als Hausaufgabe gegeben sondern haben mit dem Unterricht zu tun, also mit dem was der Lehrer erklärt hat. Also können immer Erklärungen und Hinweise vom Lehrer ein Anhaltspunkt sein, wie man da vorgehen soll.

Habt ihr z.b. die Formel für den Krümmungsradius durchgenommen, dann wäre das ein Hinweis das das verwendet werden kann. Habt ihr Kreisgleichungen gemacht sollst du vermutlich eher über die Schiene antworten. Habt ihr Normalengleichungen gemacht wird man vermutlich darüber das lösen sollen. Es gibt hier also sehr viele Möglichkeiten die Aufgabe zu lösen.

Answer 1

Kann ich das auch irgendwie mit der kreisgleichung ausrechnen? 

y = 1/5 x^2  (I) ==> 5y = x^2

x^2 + (y-r)^2 = r^2          (II)

(I) in (II) einsetzen

5y + (y-r)^2 = r^2

5y + y^2 - 2ry + r^2 = r^2

y^2 + (5-2r)y = 0

y ( y  + 5 - 2r) = 0 hat die gewünschte Lösung y = 0.

Das heisst im Moment nur mal, dass y+5 = 2r gelten muss.

Gescheiter wäre es wahrscheinlich gewesen, wenn ich y in (II) eliminiert hätte.

x^2 + (1/5 x^2 - r)^2 = r^2

x^2 + (1/25 x^4 - 2/5 x^2 r + r^2 ) = r^2

x^2 + 1/25 x^4 - 2/5 x^2 r  = 0.

x^2 ( 1 + 1/25 x^2 - 2/5 r ) = 0

Auch hier siehst du wieder, dass der Kreis mit Radius r im Koordinatenursprung die Parabel berührt.

Nun willst du keine weiteren Schnittstellen.

Daher x = 0 einsetzen in der Klammer (1 - 2/5 r) = 0  ==> r = 5/2

Comments

Übrigens: 

Hätte ich auch hier  y+5 = 2r  schon haben können. Es soll nur y=0 in Frage kommen.

Daher 5 = 2r ==> 2.5 = r.

Answer 2

Ich denke du brauchst hier nur den Krümmungsradius im Scheitelpunkt bestimmen.

Comments

So sieht das aus

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Kann ich das auch irgendwie mit der kreisgleichung ausrechnen?

Kreisgleichung und parabelgleichung gleich setzen??

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Parabel: y = 1/5·x^2

Kreisgleichung: x^2 + (y - r)^2 = r^2

Um Schnittpunkte zu bestimmen können wir die Parabel in die Kreisgleichung für y einsetzen

x^2 + (1/5·x^2 - r)^2 = r^2

x^2 + 0.04·x^4 - 0.4·r·x^2 + r^2 = r^2

x^2 + 0.04·x^4 - 0.4·r·x^2 = 0

0.04·x^2·(x^2 - 10·r + 25) = 0

x = √(10·r - 25)

Das r muss jetzt so gewählt werden das es höchsten eine Lösung bei 0 geben kann. Man sieht das man für r genau 2.5 einsetzen muss.