Differentialgleichung mit komplexen Nullstellen

Question

Ich brauche DRINGEND Hilfe beim Lösen einer Differentialgleichung und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand Tipps geben könnte!

y"'-4y"-2y'+20y=b(x)

Nullstellen habe ich ausgerechnet und bekomme

-2

3+i

3-i

Y homogen = C1*e^3x*sinx+C2e^3x *cosx

Sollte soweit passen.

JETZT MEINE FRAGEN:

a)bestimme allgemeine Lösung dieser Gleichung für b(x)=e^-2x

Ich muss hier Ansatzmethode anwenden. Als alpha habe ich -2 und als beta 0 gewählt, damit ich auch e^-2x komme. Ich weiß aber nicht welchen grad mein Polynom hat und wie ich das weiterrechnen soll. :(

b) bestimme die spezielle Lösung, die y(0)=0 und y'(0)=y"(0)=1

c) bestimme einen Ansatz (nur Ansatz!) für b(x)=e^3x sinx

Leider stehe ich jetzt an und weiß nicht, wie ich weiterrechnen soll.

Ich bin sehr dankbar für jede Hilfe!!

LG

Comments

Deine homogene Lösung ist defizitär!

Answer 1

zu a)

y_h= C_1 e^{-2x} +C_2 e^{3x} *cos(x) +C_3 e^{3x} *sin(x)

y_p= A*x*(e^-2x)

Zu b)

y_p  3 Mal ableiten und in die Aufgabe einsetzen,danach Koeffizientenvergleich   durchführen.

y_p= 1/26 *e^{-2x} *x

y= y_h +y_p

In die Lösung die AWB einsetzen.(vorher die Lösung 2 Mal ableiten)

Zu c)

y_p= A x e^{3x} *cos(x) +B x e^{3x} *sin(x)

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Eines verstehe ich noch nicht: warum ist Yp = Ax*(e^-2x)? Warum ist nur A dabei und nicht B und C?

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Es gibt die allg.Formel:

y_p=A* x^k * e^{αx}

k - ist die Vielfachheit

das bedeutet, die -2 kommt in der charakt. Gleichung als Lösung einmal vor.

Ebenfalls taucht die -2 in der Störfunktion einmal auf, das bedeutet, die Vielfachheit ist 1

----------->

y_p=A* x^1 * e^{-2x}

y_p=A* x * e^{-2x}

Eine weitere Möglichkeit den Ansatz für die part. Lösung zu bestimmen, funktioniert über Tabellen

siehe Link

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Seite 2; Punkt 2

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danke! :)

Damit geht es viel einfacher! :)

Ich sollte allerdings alles mit dieser Methode machen:

e^{alpha x} [Am(x)sin(beta x) + Bm(x)*cos(beta x)] = störfunktion b(x)

durch das bestimmen und einsetzen von alpha und beta soll ich auf die Lösung kommen.

Nur verstehe ich nicht wie ich dann mit dieser Methode auf  Ax * e^-2x kommen kann..