nein, das Polynom \( p'(x) = 4x^3 +18x^5 \) ist leider nicht beschränkt, da es, wie du erwähnt hast, jede Zahl in \( \mathbb{R} \) annehmen kann. Wenn es beidseitig beschränkt wäre, so gäbe es eine Zahl \( c \in \mathbb{R} \), sodass \( |p'(x)| < c \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).
Die einzigen auf \( \mathbb{R} \) beschränkten Polynomfunktionen sind die konstanten Polynome \( p'(x) = a \) (mit \( a \in \mathbb{R} \)).
Schwächt man die Bedingung ab, sodass die Ableitung von \( p(x) \) nur nach oben oder nach unten beschränkt sein soll, so hat man durch \( p(x) = x^3 \) oder \( p(x) = - x^3 \) ein Polynom gefunden, dessen Ableitung \( p'(x) = 3x^2 \) oder \( p'(x) = -3x^2 \) nach unten oder nach oben beschränkt ist.
Mister
