Lineare Unabhängigkeit in C

Question

die Aufgabenstellung lautet:

Für welche Parameter z Element C sind die beiden Vektoren v1 = (2z+4, 47) und v2 = (-2, z-3) in C^2 über den komplexen Zahlen linear unabhängig?

Ich weiss, dass folgendes gelten muss

 a * v1 + b * v2 = 0

nur weiß ich nicht genau wie ich anfangen soll...

Answer 1

betrachte a*v₁+b*v₂=0

Es ergeben sich die Gleichungen

a*(2z+4)-2b=0

a*47+b*(z-3)=0

Erste Gleichung nach b umstellen:

b=a*(z+2)

in Gleichung 2 einsetzen:

a*47+a*(z+2)*(z-3)=0

a*(47+(z+2)*(z-3))=0

Diese Gleichung ist entweder erfüllt, falls a=0 ist oder (47+(z+2)*(z-3))=0

für a=0 folgt b=0 und die Vektoren sind linear unabhängig.

für (47+(z+2)*(z-3))=0 kann a auch ungleich null sein.

(47+(z+2)*(z-3))=z^2-z+41=0

--> z₁=1/2*(1-i*√163)

      z₂=1/2*(1+i*√163)

Für diese z-Werte sind die Vektoren linear abhängig.

Answer 2

Löse das Gleichungssystem

        a·(2z+4) + b·(-2) = 0

        a·47 + b·(z-3) = 0

nach a und b auf. Die Vektoren sind genau für die Werte von z linear unabhängig, für die die Lösungsmenge nur aus einem einzigen Element besteht (nämlich aus (a,b) =(0,0)).