b) det(A-λ*E2)=(λ-2)^2=0
--> λ=2 doppelte Nullstelle
Bei einer k-fachen Nullstelle ist die Lösung eine Superposition des Exponentialansatzes multipliziert x^n
wobei n=0,1,...,k-1 ist
Hier: doppelte Nullstelle k=2
--> Fundamentalsystem {e^{2x},x*e^{2x}}
c) als charackteristisches Polynom ergibt sich
λ^2=-2
Lösungen: λ1=i*√2
λ2=-i*√2
Bei einfachen,komplexen Nullstellen der Gestalt λ=a+bi ergibt sich als Lösung des Fundamentalsystems e^{ax}*sin(bx)
und bei der Gestalt λ=a-bi e^{ax}*cos(bx)
Für λ1:sin((√2)x)
für λ2 :cos((√2)x)
Fundamentalsystem:{sin((√2)x),cos((√2)x)}
Die Ansätze für die Lösungen des Fundamentalsystems kannst du auf dieser sehr informativen Seite nachlesen:
http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest9/Lsg_linDGL_konstKoeff.html
