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Bestimmen sie ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung

xy'' + (x tan x + 2)y' + (tan x)y = 0. Eine Lösung ist durch y(x) = 1/x gegeben.

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\( xy'' + (x \tan(x) + 2)y' + ( \tan(x) ) y = 0 \)                      

Ansatz: y = u · y_{1}

\( y_{1} = \frac{1}{x} \)

\( y = u · \frac{1}{x} \\ y' = u' · \frac{1}{x} - \frac{u}{x^2} \\ y'' = u'' · \frac{1}{x} - 2u' · \frac{1}{x^2} + u \frac{2}{x^3} \)

In die Aufgabe eingesetzt:

\( x · ( u'' · \frac{1}{x} - 2u' · \frac{1}{x^2} + u \frac{2}{x^3} ) + (x \tan(x) + 2) \cdot (u' · \frac{1}{x} - \frac{u}{x^2}) + ( \tan(x) ) \frac{u}{x} = 0 \)

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\( u'' + u' \tan(x) = 0 \)

\( w = u' \\ w' = u'' \)

\( w' + \tan(x) w = 0 \\ \frac{dw}{dx} = -w \tan(x) \\ \frac{dw}{w}  - \tan(x) · dx \\ ln |q| = ln | cos(x) | + ln | c | \\ |w| = c·\cos(x) \\ w = c_{1} · cos(x) \)

\( w = c_{1} \cdot \cos(x) \\ w = u' \)

\( \underline{ u' = c_{1} \cdot \cos(x) \\ u = c_{1} · \sin(x) + c_{2} } \)

\( y = \frac{u}{x} \rightarrow u = y·x \\ y·x = c_{1} \sin(x) + c_{2} \\ y = c_{1} \frac{\sin(x)}{x} + \frac{c_{2}}{x} \\ \rightarrow FS \{ \frac{(sin(x)}{x}, \frac{1}{x} \}\)


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