Parabelgleichung erstellen

Question

Wie kann ich nur anhand dieser Zeichnung und der Angabe dieses Quadrates eine Parabelgleichung erstellen? Wenn sich diese 4 Parabeln berühren sollen?Damit man danach die schraffierte Fläche berechnen kann, anhand eines Integrals.

Answer 1

Nimm einfach mal die untere Kante als x-Achse und nutze die Symmetrie

f(x) = a(x-2)(x+2)

Nun muss die Steigung in x=2 den Wert -1 haben (45°-Winkel).

Damit bekommst du das a. Ich nehme an, dass du den Rest nun hinbekommst.

Answer 2

wenn du den Koordinatenursprung in die Quadratmitte legst,

Hat die obere Parabel eine Gleichung der Art  f(x)   = a*x^2 + b  und

geht durch (2;2) und hat dort die Steigung 1; damit die Diagonale eine

Tangente ist.

Also 2 = a*4 + b   und  wegen f ' (x)  = 2ax   auch  f ' ( 2) = 1 also 1 = 2a*2

2 = a*4 + b   und   1 = 2a*2   gibt  a=1/4 und b = 1 .

Und die obere weisse Fläche ( die musst du ja dann nur noch 4 mal

vom Quadrat abziehen)  ist

Integral von -2 bis 2 über  2 - ( 1/4 x^2 + 1 ) =  8/3

Also gestrichelte Fläche  4*4 - 4*8/3 = 16/3

~plot~ 2;x^2/4 +1;-x^2/4 -1; x=2;x=-2;-2;sqrt(4*(x-1));-sqrt(4*(x-1));-sqrt(4*(-x-1));sqrt(4*(-x-1));); ~plot~

Comments

Hallo mathef,

Also 2 = a*3 + b

muß es nicht

Also 2 = a* 2^2 + b

heißen ?

mfg Georg

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Hatte ich auch gerade gemerkt.

Zeichnung passte nicht.

Ist schon korrigiert.

Answer 3

Ich betrachte nur die obere Parabel

P ( -2 | 2 )
P ( 2 | 2 )
f ( x ) = a * x^2 + b
f ( 2 ) = a * 2^2 + b = 2
a * 4 + b = 2

f ´( x ) = 2 * a * x

Annahme
f ´( 2 ) = 1  ( der Winkel der Parabel in der oberen rechten Ecke ist 45 ° )

2 * a * 2 = 1
4 * a = 1

a * 4 + b = 2 ( von oben )
1 + b = 2
b = 1
a = 0.25

f ( x ) = 0.25 * x^2 + 1

~plot~ 0.25 * x^2 + 1 ~plot~

Die Fläche unterhalb der Parabel kannst du berechnen
0.25 * x^3 / 3 + x  zwischen 0 und 2

Geht gleich noch weiter.

Comments

Leider ist mein erster Kommentar wieder verschwunden.

0.25 * x³ / 3 + x  zwischen 0 und 2

8 / 3

weiße Fläche darüber
2 * 2 -  8/3 = 4 / 3

Die Fläche kommt 8 mal vor : 32 / 3

Schraffierte Fläche
4 * 4 - 32 / 3 = 16 / 3