Unterschung auf Monotonie und Beschränktheit

Question

Ich gehe von einer monoton steigenden Folge aus, falls das nicht stimmt, komme ich auf einen Widerspruch. Beim auflösen nach n, habe ich Probleme oder ist der Weg bereits falsch?

$$ a_n=\frac { 3n+1}{ n+1 }\\a_n < a_{n+1} \rightarrow~\frac { 3n+1}{ n+1 }<\frac { 3(n+1)+1}{ n+1+1 }\leftrightarrow~\frac { (3n+1)(n+2)}{ (n+1)(3n+4) }<1 $$

Comments

Sie ist definitiv beschränkt und der Grenzwert ist 3, aber die Monotonie habe ich noch nicht gezeigt

Answer 1

(3n+1)(n+2) < (n+1)(3n+4)

3n^2 + 6n + n + 2 <  3n^2 + 3n + 4n + 4

7n  + 2 <  7n  + 4

gilt offenbar für alle n aus IN.

Also war der Ansatz richtig:  st. mon. steigend.

Answer 2

3n+1 schreiben als 3(n+1)-2.

Dann in zwei Brüche aufteilen, kürzen und Voila ...

Answer 3

Monotonie über Diff-Rechung ( Quotientenregel )

[ ( 3n + 1 ) / ( n + 1 ) ] ´
[ 3 * ( n + 1 ) - ( 3n + 1 ) * 1 ] / ( n + 1 ) ^2
( 3n + 3 - 3n - 1 ) / ...
2 / ( n + 1 )^2

Der Nenner ist stets positiv

a ´ ( n )  ist auch stets positiv : steiigend