Integration durch Partialbruchzerlegung mit Substitution t=e^x : (e^x)/((e^x-1)(e^{2x}+1))

Question

Ich benötige bitte eine kurze Hilfestellung,

meiner Meinung nach ergibt sich aus der oben gestellten Frage

folgendes  Endergebnis:

1/2ln(t-1)-1/4ln*(t^2+1)-1/2*arctan(t)+c=1/2*ln(e^x-1)-1/4*ln(e^{2x}+1)-1/2*arctan(e^x)+c

zur Überprüfung habe ich einen Online Integralrechner genutzt (http://www.integralrechner.de/) der mir damals in der Schule häufig helfen konnte.

Dieser zeigt mir allerdings ein anderes Ergebnis an, ist dieses nur anderes gekürzt oder liege ich völlig verkehrt?

Bitte um eure Hilfe. :)

Answer 1

Beide Ergebnisse stimmen . Das kannst Du sehen , wenn Du die beiden Lösungen ableitest.

Die unterschiedlichen Ergebnisse sind deshalb, weil unterschiedlich substituiert wird.

Comments

Welches der beiden Ergebnisse vom Online Rechner ist denn richtig?

In dem Kommentar unter dir habe ich erfahren dass  das handgerechnete im Programm verkehrt ist, die zweite Lösung darunter allerdings richtig.

Weißt du vielleicht aus welchem Grund das so ist?

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ich habe das nochmal gerechnet, beide Ergebnisse stimmen.

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Und weshalb kommt man beim ableiten der ersten Lösung nicht auf den Wert wie bei der zweiten?

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Wenn ich die.1.Lösung ableite , komme ich auf das gegebene  Integral.

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Kannst du die Ableitung der ersten Lösung bitte einmal online stellen?

 Das wäre wirklich sehr nett. Damit hätten sich dann all meine Fragen geklärt.

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Hier die Ableitung:

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geht hier weiter:

Answer 2

Hi,

also Dein Ergebnis ist richtig. Allerdings zeigt Dein Online Rechner zwei Ergebnisse. Einmal deines und einmal was anderes.

Comments

Inwiefern zeigt der Rechner 2 Ergebnisse?

Bzw. welche der beiden Lösungen stimmt mit meiner überein?

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Das untere Ergebnis entspricht Deinem Ergebnis.

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Und wie hast du das herausgefunden?

Durch ableiten beider Ergebnisse?

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Ich habe es mit meinem CAS Programm ausprobiert.

Einmal kommt durch ableiten wieder das richtige raus und im unteren Fall nicht. Insofern würde ich meinen, die handgerechnete Lösung des Programms ist falsch.