Entwicklungspunkt und Konvergenzradius bestimmen

Question

Könnt ihr mir bitte mit der Aufgaben helfen? Ich komme einfach nicht mehr weiter.

1)$$\sum _{ k=2 }^{ \infty  }{ (\frac { 1 }{ 9 } ({ z }^{ 2 }+4iz-4))^{ k } } $$

2)$$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ 3{ (-4) }^{ k }*\frac { { (z+2) }^{ k } }{ 2k+1 }  } $$

Comments

1)

Der Entwicklungspunkt muss eigentlich z=  -2i sein.

Du könntest nun am Ende der Zeile mit dem roten Fragezeichen

 = Summe ( 1/ 9) ^{n/2} (z + 2i)^n

= Summe ( 1/ 3) ^{n} (z + 2i)^n 

schreiben. So liesse sich dann ein Konvergenzradius für diese Summe ausrechnen. 

Ganz am Anfang verstehe ich nicht, woher du das minus im Betrag unter der Wurzel hattest.

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Ich danke dir! Das da oben war eine andere Aufgabe. :)

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Und was ist bei der 2. das Problem ?

Du hast doch alles hingeschrieben.

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Konvergenzradius fehlt noch

Answer 1

Konvergenzradius mit Quot.kriterium

| a_n / a_n+1 | =  (   3*4^n /  ( 2n+1)   )  /   3*4ⁿ⁺¹  /  ( 2n+3)   )

=      3*4^n* ( 2n+3)   /    ( ( 2n+1) *   3*4ⁿ⁺¹    )

= ( 2n+3)  /  (( 2n+1)*4 )

= ( 2n+3)  /  ( 8n+4 )

und das hat für n gegen unendlich den Grenzwert 1/4 = Konvergenzradius.