Tangentialebene und Tangentialraum

Question

Heya, habe hier eine kurze Frage

In meinen Unterlagen habe ich jetzt stehen, dass T_a (N_c ) = a + {v| grad f (a) * v = 0}, wobei a und v Vektoren sind. N_c steht für f(x,y)=c soweit ich weiß. Das soll glaub ich der Tangentialraum sein

In nem Youtube video sah ich dann die Bezeichnung als : T = f(x_o,y_o) + grad(f(x_0,y_0)) *(x-x_0; y- y_0) für die Tangentialebene

Eine andere Bezechnung die ich gefunden habe, bei der hier müsste man parametrisieren oder so?

(x0,y0,f(x0,y0))+s(1,0,fx(x0,y0))+t(0,1,fy(x0,y0))

Aber bei einer Aufgabewo es nach der Tangentialebene gefragt wird benutzt er aber die Formel für den Raum, bin jetzt ziemlich verwirrt >.>

Kann mir jemand bitte den Unterschied zwischen den Formeln ggf mit Beispiel erklären? Theorie war noch nie meine Stärke ..

Danke

Comments

Nur mal eine formale Anmerkung:

In der letzten Zeile T = .... würde ich auch in der ersten Menge eine Gleichung erwarten und Angaben darüber, aus welchem Zahlenbereich lambda und "mü" stammen dürfen.

Und: Wenn du im "Mehrdimensionalen" von einem Tangentialraum sprichst (so etwas definierst), sollte das bei der Dimension 3 auf die Tangentialebene und bei der Dimension 2 einfach der Tangenten entsprechen. Darum sehe ich keinen Grund, nicht die Formel für den Raum zu benutzen.

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Also könnte ich die Formel für den Tangentialraum je nach Dimension auch für die Tangente bzw. für die Tangentenebene benutzen?
Also wenn ich z.B. den Punkt (5 , 2) fürs zwei-dimensionale habe und  P(5) fürs ein-dimensionale?

Das mit dem Lambda und mü habe ich nicht geschrieben, aber in der Regel gilt dass ja immer für alle reelle Zahlen wenn es nicht anders definiert ist oder?

und wann würde man eigentlich diese Formel hier gebrauchen T= (x0,y0,f(x0,y0))+s(1,0,fx(x0,y0))+t(0,1,fy(x0,y0))?

Answer 1

Beim klassischen Funktionsgraphen bei Funktionen mit einerVariablen besteht der
Funktionsgraph von f ja aus Punkten im 2-dim-Raum  von der Art ( x;y) mit der

Maßgabe  y=f(x).  Und der "Tangentialraum" hier die  Tangente ist eine Gerade in

der xy-Ebene.  Eine solche Gerade kannst du in der Parameterform

so beschreiben:  Ein Punkt ( Der Berührpunkt ) ist  ( xo ; f(xo)  )

und ein Richtungsvektor ist ( 1 ; f ' (xo) ), da  f ' (xo)  die Steigung der

Geraden angibt  und in einem Steigungsdreieck mit dem Horizontalunterschied

1 betrachtet werden kann. also t :  x =  ( xo ; f(xo)  ) + s * ( 1 ; f ' (xo) )    mit s ∈ IR.

Der Funktionsgraph von f in deiner Aufgabe besteht  aus Punkten im 3-dim-Raum  von der Art ( x;y;z)

und es ist z=f(x,y).  Und der "Tangentialraum" hier die  Tangentialebene ist eine Ebene im

 xyz-Raum. Für die Parameterdarstellung brauchst du einen Punkt und zwei Richtungsvektoren

und in der Darstellung (x0,y0,f(x0,y0))+s(1,0,fx(x0,y0))+t(0,1,fy(x0,y0))

sind die einmal parallel zur xz-Ebene und der zweite parallel zur yz-Ebene gewählt.