Oberfläche eines Kegels per Integral

Question

Meine Frage ist nun, warum wir über drdphi integrieren? Sollte man nicht über dphidz und dann noch dphidr integrieren und dann dazu addieren? Oder habe ich hier irgendwo einen Denkfehler? dphidr für den boden und dphidz für den mantel?

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Wenn der Kegel nicht taumelt, dann sollte der Boden auch ohne Integration berechenbar sein ...

Answer 1

Schau mal dort auf Seite 67

https://www.iag.uni-hannover.de/fileadmin/institut/team/hulek/AnalysisB/AnaBKap13.pdf

Der Pfiff ist ja wohl, dass durch den Betrag des Vektorproduktes die

Flächenmaßzahl hineinkommt.

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Weiß nicht ob ich das jetzt verstande.

Also |x_r x x_phi| gibt mir sozusagen ein Flächenstück, so eine kleine Tangentialeben für jede Koordinate? Also für jeden Punkt meines Kegels.

Das innere Integral gibt mir dann sousagen die Fläche einer äußeren Linie? Und mein äußeres Integral addiert diese Linien alle zusammen. Dann hätte ich doch nur die Mantefläche oder nicht?

Da es ja jede Koordinate nur einmal geben kann? Dann müsste ja oben ein Loch sein? Aber das kann ja nicht sein, oben sollte es geschlossen sein, aber dann haben wir für ein x zwei verschiedene y?

halp
?
v.

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Ja, das gibt nur den Mantel.

Dioe klassische Formel ist da ja M = pi*r*s

und es ist s = wurzel( h^2 + r^2  ) und bei dir ist h= b/a  * r

Dann müsste es doch stimmen ?!

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Wieso is h=b/a *r ?  Wie kommt man überhaupt auf die Steigung b/a?

Und ich dachte dieses Integral gibt uns die Oberfläche und nicht nur den Mantel? Jetzt bin ich noch mehr verwirrt

Mit r wird jetzt der höchste Radius gemeint oder?

Also s= wurzel (h²+a²) = wurzel(b²/a²*a²+a²) = wurzel (b²+a²)

Einsetzen würde liefern M= π*a*wurzel(b²+a²), wenn ich a ausklammern würde, dann hätte ich:

M= π*a*wurzel(a²(b²/a²+1)) = π*a²*wurzel(b²/a²+1)

??

Oder stimmt die Aussage, dass beim Kegel oben ein Loch ist? Dann würde dass mit der Oberfläche Sinn machen, aber die Rechnung oben wäre trotzdem falsch >.>